Theorem fisupclrnmpt 46004

Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisupclrnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fisupclrnmpt	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisupclrnmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		fisupclrnmpt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	rnmptssd 7120	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)
5		fisupclrnmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6		fisupclrnmpt.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	2	rnmptfi 45780	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
9		fisupclrnmpt.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10	1, 3, 2, 9	rnmptn0 6246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅)
11		fisupcl 9429	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
12	5, 8, 10, 4, 11	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13	4, 12	sseldd 3946	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   ↦ cmpt 5196   Or wor 5569  ran crn 5663  Fincfn 8942  supcsup 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8452  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946  df-sup 9401

This theorem is referenced by:  uzublem  46035  limsupubuzlem  46317