Theorem fisupclrnmpt 46171

Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisupclrnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fisupclrnmpt	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisupclrnmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		fisupclrnmpt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	rnmptssd 7123	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)
5		fisupclrnmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6		fisupclrnmpt.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	2	rnmptfi 45947	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
9		fisupclrnmpt.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10	1, 3, 2, 9	rnmptn0 6247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅)
11		fisupcl 9437	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
12	5, 8, 10, 4, 11	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13	4, 12	sseldd 3939	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5194   Or wor 5570  ran crn 5664  Fincfn 8949  supcsup 9407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-fin 8953  df-sup 9409

This theorem is used by:  uzublem  46202  limsupubuzlem  46484