Theorem fisupclrnmpt 45558

Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisupclrnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fisupclrnmpt	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisupclrnmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		fisupclrnmpt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	rnmptssd 45356	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)
5		fisupclrnmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6		fisupclrnmpt.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	2	rnmptfi 45331	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
9		fisupclrnmpt.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10	1, 3, 2, 9	rnmptn0 6199	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅)
11		fisupcl 9365	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
12	5, 8, 10, 4, 11	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13	4, 12	sseldd 3931	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5176   Or wor 5528  ran crn 5622  Fincfn 8879  supcsup 9335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-1o 8394  df-en 8880  df-dom 8881  df-fin 8883  df-sup 9337

This theorem is referenced by:  uzublem  45590  limsupubuzlem  45872