Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fisupclrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupclrnmpt 44693
Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fisupclrnmpt.x 𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r (𝜑𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n (𝜑𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fisupclrnmpt (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt
StepHypRef Expression
1 fisupclrnmpt.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2727 . . 3 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
3 fisupclrnmpt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐴)
41, 2, 3rnmptssd 44482 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)
5 fisupclrnmpt.r . . 3 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
6 fisupclrnmpt.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
72rnmptfi 44457 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin)
9 fisupclrnmpt.n . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
101, 3, 2, 9rnmptn0 6242 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅)
11 fisupcl 9478 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥𝐵𝐶))
125, 8, 10, 4, 11syl13anc 1370 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥𝐵𝐶))
134, 12sseldd 3979 1 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐵𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wnf 1778  wcel 2099  wne 2935  wss 3944  c0 4318  cmpt 5225   Or wor 5583  ran crn 5673  Fincfn 8953  supcsup 9449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-fin 8957  df-sup 9451
This theorem is referenced by:  uzublem  44725  limsupubuzlem  45013
  Copyright terms: Public domain W3C validator