Theorem fisupclrnmpt 40417

Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisupclrnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fisupclrnmpt	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisupclrnmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		fisupclrnmpt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	rnmptssd 40193	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)
5		fisupclrnmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6		fisupclrnmpt.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	2	rnmptfi 40160	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
9		fisupclrnmpt.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10	1, 3, 2, 9	rnmptn0 40219	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅)
11		fisupcl 8644	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
12	5, 8, 10, 4, 11	syl13anc 1497	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13	4, 12	sseldd 3828	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386  Ⅎwnf 1884   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144   ↦ cmpt 4952   Or wor 5262  ran crn 5343  Fincfn 8222  supcsup 8615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-fin 8226  df-sup 8617

This theorem is referenced by:  uzublem  40452  limsupubuzlem  40739