Theorem fisupclrnmpt 45401

Description: A nonempty finite indexed set contains its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisupclrnmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fisupclrnmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
fisupclrnmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fisupclrnmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
fisupclrnmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fisupclrnmpt	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem fisupclrnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisupclrnmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		fisupclrnmpt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	rnmptssd 45197	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)
5		fisupclrnmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6		fisupclrnmpt.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7	2	rnmptfi 45172	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
9		fisupclrnmpt.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10	1, 3, 2, 9	rnmptn0 6220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅)
11		fisupcl 9428	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ≠ ∅ ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⊆ 𝐴)) → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
12	5, 8, 10, 4, 11	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13	4, 12	sseldd 3950	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶), 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   ↦ cmpt 5191   Or wor 5548  ran crn 5642  Fincfn 8921  supcsup 9398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925  df-sup 9400

This theorem is referenced by:  uzublem  45433  limsupubuzlem  45717