Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrunb3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb3 42517
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2re 10903 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
21adantl 485 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3 simpl 486 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4 breq1 5043 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
54rexbidv 3208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
65rspcva 3527 . . . . . . . 8 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
72, 3, 6syl2anc 587 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
87adantll 714 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9 nfv 1921 . . . . . . . . 9 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10 nfcv 2900 . . . . . . . . . 10 𝑦
11 nfre1 3217 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝐴 𝑥𝑦
1210, 11nfralw 3139 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦
139, 12nfan 1906 . . . . . . . 8 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
14 nfv 1921 . . . . . . . 8 𝑦 𝑤 ∈ ℝ
1513, 14nfan 1906 . . . . . . 7 𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16 simp1r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 rexr 10777 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
191rexrd 10781 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦𝐴)
23 ssel2 3882 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2421, 22, 23syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2516ltp1d 11660 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
2718, 20, 24, 25, 26xrltletrd 12649 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28273exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
2928adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
3015, 29reximdai 3222 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
318, 30mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3231ralrimiva 3097 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3332ex 416 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
34 breq1 5043 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
3534rexbidv 3208 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3635cbvralvw 3350 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3736biimpi 219 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
38 nfv 1921 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39 nfra1 3132 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦
4038, 39nfan 1906 . . . . . 6 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
41 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 rspa 3120 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
4443adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
45 rexr 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4645ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4723adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4847adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
5046, 48, 49xrltled 12638 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
5150ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
5251reximdva 3185 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5352adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
55 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5641, 42, 54, 55syl21anc 837 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5756ex 416 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5840, 57ralrimi 3129 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5937, 58sylan2 596 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6059ex 416 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6133, 60impbid 215 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
62 supxrunb2 12808 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62bitrd 282 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  wss 3853   class class class wbr 5040  (class class class)co 7182  supcsup 8989  cr 10626  1c1 10628   + caddc 10630  +∞cpnf 10762  *cxr 10764   < clt 10765  cle 10766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963
This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  42824
  Copyright terms: Public domain W3C validator