Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrunb3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb3 40366
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2re 10499 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
21adantl 474 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3 simpl 475 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4 breq1 4846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
54rexbidv 3233 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
65rspcva 3495 . . . . . . . 8 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
72, 3, 6syl2anc 580 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
87adantll 706 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9 nfv 2010 . . . . . . . . 9 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10 nfcv 2941 . . . . . . . . . 10 𝑦
11 nfre1 3185 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝐴 𝑥𝑦
1210, 11nfral 3126 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦
139, 12nfan 1999 . . . . . . . 8 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
14 nfv 2010 . . . . . . . 8 𝑦 𝑤 ∈ ℝ
1513, 14nfan 1999 . . . . . . 7 𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16 simp1r 1256 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 rexr 10374 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
191rexrd 10378 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21 simp1l 1255 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22 simp2 1168 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦𝐴)
23 ssel2 3793 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2421, 22, 23syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2516ltp1d 11246 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26 simp3 1169 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
2718, 20, 24, 25, 26xrltletrd 12241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28273exp 1149 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
2928adantlr 707 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
3015, 29reximdai 3192 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
318, 30mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3231ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3332ex 402 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
34 breq1 4846 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
3534rexbidv 3233 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3635cbvralv 3354 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3736biimpi 208 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
38 nfv 2010 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39 nfra1 3122 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦
4038, 39nfan 1999 . . . . . 6 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
41 simpll 784 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 rspa 3111 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
4443adantll 706 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
45 rexr 10374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4645ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4723adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4847adantllr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpr 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
5046, 48, 49xrltled 12230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
5150ex 402 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
5251reximdva 3197 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5352adantlr 707 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
55 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5641, 42, 54, 55syl21anc 867 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5756ex 402 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5840, 57ralrimi 3138 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5937, 58sylan2 587 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6059ex 402 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6133, 60impbid 204 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
62 supxrunb2 12399 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62bitrd 271 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  wss 3769   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  supcsup 8588  cr 10223  1c1 10225   + caddc 10227  +∞cpnf 10360  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559
This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  40677
  Copyright terms: Public domain W3C validator