Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrunb3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb3 43624
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2re 11328 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
21adantl 482 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3 simpl 483 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
54rexbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
65rspcva 3579 . . . . . . . 8 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
72, 3, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
87adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑦
11 nfre1 3268 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝐴 𝑥𝑦
1210, 11nfralw 3294 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦
139, 12nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
14 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑦 𝑤 ∈ ℝ
1513, 14nfan 1902 . . . . . . 7 𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16 simp1r 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 rexr 11201 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
191rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦𝐴)
23 ssel2 3939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2516ltp1d 12085 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
2718, 20, 24, 25, 26xrltletrd 13080 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28273exp 1119 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
2928adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
3015, 29reximdai 3244 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
318, 30mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3231ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3332ex 413 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
34 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
3534rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3635cbvralvw 3225 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3736biimpi 215 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
38 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39 nfra1 3267 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦
4038, 39nfan 1902 . . . . . 6 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
41 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 rspa 3231 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
4443adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
45 rexr 11201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4645ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4723adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4847adantllr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
5046, 48, 49xrltled 13069 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
5150ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
5251reximdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5352adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
55 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5641, 42, 54, 55syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5756ex 413 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5840, 57ralrimi 3240 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5937, 58sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6059ex 413 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6133, 60impbid 211 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
62 supxrunb2 13239 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62bitrd 278 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388
This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  43932
  Copyright terms: Public domain W3C validator