Theorem supxrunb3 46504

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb3	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
4		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
5	4	rexbidv 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
6	5	rspcva 3574	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
8	7	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
11		nfre1 3287	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
12	10, 11	nfralw 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
13	9, 12	nfan 1931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑤 ∈ ℝ
15	13, 14	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16		simp1r 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17		rexr 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
19	1	rexrd 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23		ssel2 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25	16	ltp1d 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
27	18, 20, 24, 25, 26	xrltletrd 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28	27	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
29	28	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
30	15, 29	reximdai 3264	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
31	8, 30	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
32	31	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
34		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
35	34	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
36	35	cbvralvw 3240	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
37	36	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
38		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39		nfra1 3286	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦
40	38, 39	nfan 1931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
41		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		rspa 3251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
44	43	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
45		rexr 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	45	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
48	47	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
50	46, 48, 49	xrltled 13283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
51	50	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
52	51	reximdva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
53	52	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
54	44, 53	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
56	41, 42, 54, 55	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
58	40, 57	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
59	37, 58	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
60	59	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
61	33, 60	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
62		supxrunb2 13454	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  supcsup 9436  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  limsuppnfdlem  46805