Theorem supxrunb3 44810

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb3	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
4		breq1 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
5	4	rexbidv 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
6	5	rspcva 3609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
7	2, 3, 6	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
8	7	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9		nfv 1909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
11		nfre1 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
12	10, 11	nfralw 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
13	9, 12	nfan 1894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑤 ∈ ℝ
15	13, 14	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16		simp1r 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17		rexr 11298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
19	1	rexrd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22		simp2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23		ssel2 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25	16	ltp1d 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26		simp3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
27	18, 20, 24, 25, 26	xrltletrd 13180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28	27	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
29	28	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
30	15, 29	reximdai 3256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
31	8, 30	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
32	31	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
33	32	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
34		breq1 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
35	34	rexbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
36	35	cbvralvw 3232	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
37	36	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
38		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39		nfra1 3279	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦
40	38, 39	nfan 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
41		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		rspa 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
44	43	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
45		rexr 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	45	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47	23	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
48	47	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
50	46, 48, 49	xrltled 13169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
51	50	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
52	51	reximdva 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
53	52	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
54	44, 53	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
56	41, 42, 54, 55	syl21anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
58	40, 57	ralrimi 3252	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
59	37, 58	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
60	59	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
61	33, 60	impbid 211	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
62		supxrunb2 13339	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	bitrd 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  supcsup 9471  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149  +∞cpnf 11283  ℝ^*cxr 11285   < clt 11286   ≤ cle 11287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485

This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  45118