Theorem supxrunb3 45850

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb3	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
4		breq1 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
5	4	rexbidv 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
6	5	rspcva 3565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
7	2, 3, 6	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
8	7	adantll 720	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
11		nfre1 3265	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
12	10, 11	nfralw 3287	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
13	9, 12	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑤 ∈ ℝ
15	13, 14	nfan 1906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16		simp1r 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17		rexr 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
19	1	rexrd 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21		simp1l 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22		simp2 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23		ssel2 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25	16	ltp1d 12084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26		simp3 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
27	18, 20, 24, 25, 26	xrltletrd 13110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28	27	3exp 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
29	28	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
30	15, 29	reximdai 3242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
31	8, 30	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
32	31	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
33	32	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
34		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
35	34	rexbidv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
36	35	cbvralvw 3218	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
37	36	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
38		nfv 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39		nfra1 3264	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦
40	38, 39	nfan 1906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
41		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		rspa 3229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
44	43	adantll 720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
45		rexr 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	45	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
48	47	adantllr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
50	46, 48, 49	xrltled 13099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
51	50	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
52	51	reximdva 3153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
53	52	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
54	44, 53	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
56	41, 42, 54, 55	syl21anc 843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
58	40, 57	ralrimi 3238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
59	37, 58	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
60	59	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
61	33, 60	impbid 213	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
62		supxrunb2 13270	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	bitrd 280	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  supcsup 9350  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  46151