Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrunb3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb3 41651
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2re 10805 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
21adantl 484 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3 simpl 485 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
54rexbidv 3295 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
65rspcva 3619 . . . . . . . 8 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
72, 3, 6syl2anc 586 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
87adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑦
11 nfre1 3304 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝐴 𝑥𝑦
1210, 11nfralw 3223 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦
139, 12nfan 1893 . . . . . . . 8 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
14 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑦 𝑤 ∈ ℝ
1513, 14nfan 1893 . . . . . . 7 𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16 simp1r 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 rexr 10679 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
191rexrd 10683 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21 simp1l 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22 simp2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦𝐴)
23 ssel2 3960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2421, 22, 23syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2516ltp1d 11562 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
2718, 20, 24, 25, 26xrltletrd 12546 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28273exp 1113 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
2928adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦𝑤 < 𝑦)))
3015, 29reximdai 3309 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
318, 30mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3231ralrimiva 3180 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)
3332ex 415 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
34 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
3534rexbidv 3295 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3635cbvralvw 3448 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3736biimpi 218 . . . . 5 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
38 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39 nfra1 3217 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦
4038, 39nfan 1893 . . . . . 6 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
41 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 rspa 3204 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
4443adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
45 rexr 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4645ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4723adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4847adantllr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
5046, 48, 49xrltled 12535 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
5150ex 415 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
5251reximdva 3272 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5352adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
55 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5641, 42, 54, 55syl21anc 835 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5756ex 415 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5840, 57ralrimi 3214 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5937, 58sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6059ex 415 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6133, 60impbid 214 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦))
62 supxrunb2 12705 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
6361, 62bitrd 281 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  wss 3934   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  supcsup 8896  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  41961
  Copyright terms: Public domain W3C validator