Theorem supxrunb3 46236

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb3	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem supxrunb3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
3		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
4		breq1 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
5	4	rexbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦))
6	5	rspcva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
8	7	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
9		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
10		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
11		nfre1 3289	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
12	10, 11	nfralw 3311	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
13	9, 12	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
14		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑤 ∈ ℝ
15	13, 14	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
16		simp1r 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ)
17		rexr 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 ∈ ℝ*)
19	1	rexrd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ*)
21		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
22		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23		ssel2 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25	16	ltp1d 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < (𝑤 + 1))
26		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → (𝑤 + 1) ≤ 𝑦)
27	18, 20, 24, 25, 26	xrltletrd 13216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑤 < 𝑦)
28	27	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
29	28	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑤 < 𝑦)))
30	15, 29	reximdai 3266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
31	8, 30	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
32	31	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
34		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
35	34	rexbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
36	35	cbvralvw 3242	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
37	36	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
38		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
39		nfra1 3288	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦
40	38, 39	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
41		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
42		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		rspa 3253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
44	43	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
45		rexr 11283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	45	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
48	47	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
50	46, 48, 49	xrltled 13205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
51	50	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
52	51	reximdva 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
53	52	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
54	44, 53	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
56	41, 42, 54, 55	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
58	40, 57	ralrimi 3262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
59	37, 58	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
60	59	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
61	33, 60	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦))
62		supxrunb2 13376	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
63	61, 62	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  supcsup 9414  ℝcr 11127  1c1 11129   + caddc 11131  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  limsuppnfdlem  46537