Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnmptfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnmptfi 44574
Description: The range of a function with finite domain is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmptfi.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
rnmptfi (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rnmptfi
StepHypRef Expression
1 rnmptfi.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
2 mptfi 9383 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin)
31, 2eqeltrid 2833 . 2 (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 rnfi 9367 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
53, 4syl 17 1 (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5235  ran crn 5683  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  fisupclrnmpt  44809  stoweidlem35  45452  fourierdlem50  45573  fourierdlem70  45593  fourierdlem71  45594  fourierdlem76  45599  fourierdlem80  45603  fourierdlem103  45626  fourierdlem104  45627  ioorrnopnlem  45721  hoidmvlelem2  46013  iunhoiioolem  46092  vonioolem1  46097
  Copyright terms: Public domain W3C validator