Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnmptfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnmptfi 39858
Description: The range of a function with finite domain is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmptfi.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
rnmptfi (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rnmptfi
StepHypRef Expression
1 rnmptfi.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
2 mptfi 8514 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝑥𝐵𝐶) ∈ Fin)
31, 2syl5eqel 2900 . 2 (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 rnfi 8498 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
53, 4syl 17 1 (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157  cmpt 4934  ran crn 5325  Fincfn 8202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-fin 8206
This theorem is referenced by:  fisupclrnmpt  40119  stoweidlem35  40749  fourierdlem50  40870  fourierdlem70  40890  fourierdlem71  40891  fourierdlem76  40896  fourierdlem80  40900  fourierdlem103  40923  fourierdlem104  40924  ioorrnopnlem  41021  hoidmvlelem2  41310  iunhoiioolem  41389  vonioolem1  41394
  Copyright terms: Public domain W3C validator