Theorem rnmptfi 45750

Description: The range of a function with finite domain is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmptfi.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rnmptfi	⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rnmptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		mptfi 9295	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		rnfi 9284	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5182  ran crn 5649  Fincfn 8928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8438  df-en 8929  df-dom 8930  df-fin 8932

This theorem is referenced by:  fisupclrnmpt  45974  stoweidlem35  46610  fourierdlem50  46731  fourierdlem70  46751  fourierdlem71  46752  fourierdlem76  46757  fourierdlem80  46761  fourierdlem103  46784  fourierdlem104  46785  ioorrnopnlem  46879  hoidmvlelem2  47171  iunhoiioolem  47250  vonioolem1  47255