Theorem rnmptfi 43636

Description: The range of a function with finite domain is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmptfi.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rnmptfi	⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rnmptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		mptfi 9334	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		rnfi 9318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  Fincfn 8922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-fin 8926

This theorem is referenced by:  fisupclrnmpt  43879  stoweidlem35  44522  fourierdlem50  44643  fourierdlem70  44663  fourierdlem71  44664  fourierdlem76  44669  fourierdlem80  44673  fourierdlem103  44696  fourierdlem104  44697  ioorrnopnlem  44791  hoidmvlelem2  45083  iunhoiioolem  45162  vonioolem1  45167