Theorem rnmptfi 45909

Description: The range of a function with finite domain is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmptfi.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rnmptfi	⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rnmptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		mptfi 9304	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		rnfi 9293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  fisupclrnmpt  46133  stoweidlem35  46769  fourierdlem50  46890  fourierdlem70  46910  fourierdlem71  46911  fourierdlem76  46916  fourierdlem80  46920  fourierdlem103  46943  fourierdlem104  46944  ioorrnopnlem  47038  hoidmvlelem2  47330  iunhoiioolem  47409  vonioolem1  47414