Theorem fmfnfmlem1 23841

Description: Lemma for fmfnfm 23845. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
fmfnfm.fm	⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem1	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2		fbssfi 23724	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
4		sstr2 3953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
5		imass2 6073	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠))
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
7	6	reximdv 3148	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
8	3, 7	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
9		fmfnfm.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10		filtop 23742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐿)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
12		fmfnfm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
13		elfm 23834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
14	11, 1, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
15		fmfnfm.fm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
16	15	sseld 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡 ∈ 𝐿))
17	14, 16	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿))
18	17	expcomd 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
20	8, 19	syld 47	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
21	20	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ficfi 9361  fBascfbas 21252  Filcfil 23732   FilMap cfm 23820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-fil 23733  df-fm 23825

This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23844