Theorem fmfnfmlem1 23869

Description: Lemma for fmfnfm 23873. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
fmfnfm.fm	⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem1	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2		fbssfi 23752	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
4		sstr2 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
5		imass2 6050	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠))
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
7	6	reximdv 3147	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
8	3, 7	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
9		fmfnfm.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10		filtop 23770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐿)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
12		fmfnfm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
13		elfm 23862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
14	11, 1, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
15		fmfnfm.fm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
16	15	sseld 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡 ∈ 𝐿))
17	14, 16	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿))
18	17	expcomd 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
20	8, 19	syld 47	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
21	20	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ficfi 9294  fBascfbas 21279  Filcfil 23760   FilMap cfm 23848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-fil 23761  df-fm 23853

This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23872