Theorem fmfnfmlem1 23940

Description: Lemma for fmfnfm 23944. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
fmfnfm.fm	⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem1	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2		fbssfi 23823	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
3	1, 2	sylan 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
4		sstr2 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
5		imass2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠))
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
7	6	reximdv 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
8	3, 7	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
9		fmfnfm.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10		filtop 23841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐿)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
12		fmfnfm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
13		elfm 23933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
14	11, 1, 12, 13	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
15		fmfnfm.fm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
16	15	sseld 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡 ∈ 𝐿))
17	14, 16	sylbird 262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿))
18	17	expcomd 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
19	18	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
20	8, 19	syld 47	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
21	20	ex 414	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3884   “ cima 5623  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ficfi 9317  fBascfbas 21338  Filcfil 23831   FilMap cfm 23919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1o 8399  df-2o 8400  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-fil 23832  df-fm 23924

This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23943