Theorem fmfnfmlem1 24122

Description: Lemma for fmfnfm 24126. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
fmfnfm.fm	⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem1	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2		fbssfi 24005	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
3	1, 2	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
4		sstr2 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
5		imass2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠))
6	4, 5	syl11 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
7	6	reximdv 3179	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
8	3, 7	syl5com 32	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
9		fmfnfm.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10		filtop 24023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐿)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
12		fmfnfm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
13		elfm 24115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
14	11, 1, 12, 13	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
15		fmfnfm.fm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
16	15	sseld 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡 ∈ 𝐿))
17	14, 16	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿))
18	17	expcomd 421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
20	8, 19	syld 48	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
21	20	ex 417	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   “ cima 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ficfi 9368  fBascfbas 21521  Filcfil 24013   FilMap cfm 24101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1o 8451  df-2o 8452  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9369  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-fil 24014  df-fm 24106

This theorem is used by:  fmfnfmlem4  24125