Theorem fmfnfmlem1 23915

Description: Lemma for fmfnfm 23919. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
fmfnfm.fm	⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem1	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2		fbssfi 23798	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
3	1, 2	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠)
4		sstr2 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
5		imass2 6071	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ (𝐹 “ 𝑠))
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤 ⊆ 𝑠 → (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
7	6	reximdv 3153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ⊆ 𝑠 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
8	3, 7	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡))
9		fmfnfm.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10		filtop 23816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐿)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
12		fmfnfm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
13		elfm 23908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
14	11, 1, 12, 13	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡)))
15		fmfnfm.fm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
16	15	sseld 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡 ∈ 𝐿))
17	14, 16	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿))
18	17	expcomd 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐹 “ 𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
20	8, 19	syld 47	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿)))
21	20	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡 ⊆ 𝑋 → 𝑡 ∈ 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   “ cima 5637  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ficfi 9327  fBascfbas 21314  Filcfil 23806   FilMap cfm 23894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1o 8409  df-2o 8410  df-en 8898  df-fin 8901  df-fi 9328  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-fil 23807  df-fm 23899

This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  23918