Theorem fnseqom 8430

Description: An index-aware recursive definition defines a function on the natural numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqom.a	⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
fnseqom	⊢ 𝐺 Fn ω

Proof of Theorem fnseqom

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqomlem0 8424	. . 3 ⊢ rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) = rec((𝑐 ∈ ω, 𝑑 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑐, (𝑐𝐹𝑑)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩)
2	1	seqomlem2 8426	. 2 ⊢ (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω) Fn ω
3		seqom.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)
4		df-seqom 8423	. . . 4 ⊢ seqω(𝐹, 𝐼) = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
5	3, 4	eqtri 2788	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
6	5	fneq1i 6622	. 2 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω) Fn ω)
7	2, 6	mpbir 234	1 ⊢ 𝐺 Fn ω

Syntax hints:   = wceq 1563  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ⟨cop 4591   I cid 5545   “ cima 5654  suc csuc 6351   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ωcom 7850  reccrdg 8384  seq_ωcseqom 8422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seqom 8423

This theorem is referenced by:  cantnfvalf  9622  fin23lem16  10307  fin23lem20  10309  fin23lem17  10310  fin23lem21  10311  fin23lem31  10315