Theorem seqom0g 8427

Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqom.a	⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
seqom0g	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

Proof of Theorem seqom0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)
2		df-seqom 8419	. . . . 5 ⊢ seqω(𝐹, 𝐼) = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
3	1, 2	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
4	3	fveq1i 6862	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅)
5		seqomlem0 8420	. . . 4 ⊢ rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) = rec((𝑐 ∈ ω, 𝑑 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑐, (𝑐𝐹𝑑)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩)
6	5	seqomlem3 8423	. . 3 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅) = ( I ‘𝐼)
7	4, 6	eqtri 2753	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ( I ‘𝐼)
8		fvi 6940	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( I ‘𝐼) = 𝐼)
9	7, 8	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   I cid 5535   “ cima 5644  suc csuc 6337  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ωcom 7845  reccrdg 8380  seq_ωcseqom 8418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-seqom 8419

This theorem is referenced by:  cantnfvalf  9625  cantnfval2  9629  cantnflt  9632  cantnff  9634  cantnf0  9635  cantnfp1lem3  9640  cantnf  9653  cnfcom  9660  fseqenlem1  9984  fin23lem14  10293  fin23lem16  10295