Theorem seqom0g 8459

Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqom.a	⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
seqom0g	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

Proof of Theorem seqom0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)
2		df-seqom 8451	. . . . 5 ⊢ seqω(𝐹, 𝐼) = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
3	1, 2	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
4	3	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅)
5		seqomlem0 8452	. . . 4 ⊢ rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) = rec((𝑐 ∈ ω, 𝑑 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑐, (𝑐𝐹𝑑)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩)
6	5	seqomlem3 8455	. . 3 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅) = ( I ‘𝐼)
7	4, 6	eqtri 2784	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ( I ‘𝐼)
8		fvi 6959	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( I ‘𝐼) = 𝐼)
9	7, 8	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   I cid 5545   “ cima 5654  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  ωcom 7875  reccrdg 8410  seq_ωcseqom 8450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seqom 8451

This theorem is used by:  cantnfvalf  9659  cantnfval2  9663  cantnflt  9666  cantnff  9668  cantnf0  9669  cantnfp1lem3  9674  cantnf  9687  cnfcom  9694  fseqenlem1  10096  fin23lem14  10404  fin23lem16  10406