Theorem seqom0g 8370

Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqom.a	⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
seqom0g	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

Proof of Theorem seqom0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)
2		df-seqom 8362	. . . . 5 ⊢ seqω(𝐹, 𝐼) = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
3	1, 2	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
4	3	fveq1i 6818	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅)
5		seqomlem0 8363	. . . 4 ⊢ rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) = rec((𝑐 ∈ ω, 𝑑 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑐, (𝑐𝐹𝑑)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩)
6	5	seqomlem3 8366	. . 3 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅) = ( I ‘𝐼)
7	4, 6	eqtri 2754	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ( I ‘𝐼)
8		fvi 6893	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( I ‘𝐼) = 𝐼)
9	7, 8	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4278  ⟨cop 4577   I cid 5505   “ cima 5614  suc csuc 6303  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  ωcom 7791  reccrdg 8323  seq_ωcseqom 8361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-seqom 8362

This theorem is referenced by:  cantnfvalf  9550  cantnfval2  9554  cantnflt  9557  cantnff  9559  cantnf0  9560  cantnfp1lem3  9565  cantnf  9578  cnfcom  9585  fseqenlem1  9910  fin23lem14  10219  fin23lem16  10221