MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqom0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqom0g 8192
Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)
Assertion
Ref Expression
seqom0g (𝐼𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)

Proof of Theorem seqom0g
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqom.a . . . . 5 𝐺 = seqω(𝐹, 𝐼)
2 df-seqom 8184 . . . . 5 seqω(𝐹, 𝐼) = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
31, 2eqtri 2765 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)
43fveq1i 6718 . . 3 (𝐺‘∅) = ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅)
5 seqomlem0 8185 . . . 4 rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) = rec((𝑐 ∈ ω, 𝑑 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑐, (𝑐𝐹𝑑)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩)
65seqomlem3 8188 . . 3 ((rec((𝑎 ∈ ω, 𝑏 ∈ V ↦ ⟨suc 𝑎, (𝑎𝐹𝑏)⟩), ⟨∅, ( I ‘𝐼)⟩) “ ω)‘∅) = ( I ‘𝐼)
74, 6eqtri 2765 . 2 (𝐺‘∅) = ( I ‘𝐼)
8 fvi 6787 . 2 (𝐼𝑉 → ( I ‘𝐼) = 𝐼)
97, 8eqtrid 2789 1 (𝐼𝑉 → (𝐺‘∅) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  c0 4237  cop 4547   I cid 5454  cima 5554  suc csuc 6215  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  ωcom 7644  reccrdg 8145  seqωcseqom 8183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-seqom 8184
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  9280  cantnfval2  9284  cantnflt  9287  cantnff  9289  cantnf0  9290  cantnfp1lem3  9295  cantnf  9308  cnfcom  9315  fseqenlem1  9638  fin23lem14  9947  fin23lem16  9949
  Copyright terms: Public domain W3C validator