Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frins3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frins3 33207
Description: Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frins3.1 𝑅 Fr 𝐴
frins3.2 𝑅 Se 𝐴
frins3.3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
frins3.4 (𝑦 = 𝐵 → (𝜑𝜒))
frins3.5 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
frins3 (𝐵𝐴𝜒)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝜒,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem frins3
StepHypRef Expression
1 frins3.4 . 2 (𝑦 = 𝐵 → (𝜑𝜒))
2 frins3.1 . . 3 𝑅 Fr 𝐴
3 frins3.2 . . 3 𝑅 Se 𝐴
4 frins3.3 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
5 frins3.5 . . 3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
62, 3, 4, 5frins2 33206 . 2 (𝑦𝐴𝜑)
71, 6vtoclga 3525 1 (𝐵𝐴𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109   Fr wfr 5479   Se wse 5480  Predcpred 6119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-trpred 33171
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator