Theorem frins3 9777

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frins3.1	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
frins3.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
frins3.3	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
frins3	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝜒,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem frins3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frins3.3	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
2		frins3.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	frins2 9776	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
4		frins3.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	4	rspcv 3601	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝜒))
6	3, 5	mpan9 506	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   Fr wfr 5614   Se wse 5615  Predcpred 6300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-ttrcl 9730

This theorem is referenced by: (None)