Theorem frlmbasfsupp 20501

Description: Elements of the free module are finitely supported. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbasfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmbasfsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbasfsupp	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp 0 )

Proof of Theorem frlmbasfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmbasfsupp.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	frlmrcl 20500	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	4	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
6		simpl 476	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		frlmbasfsupp.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	2, 7, 8, 3	frlmelbas 20499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0 )))
10	5, 6, 9	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0 )))
11	1, 10	mpbid 224	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
12	11	simprd 491	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140   finSupp cfsupp 8563  Basecbs 16255  0_gc0g 16486   freeLMod cfrlm 20489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-dsmm 20475  df-frlm 20490

This theorem is referenced by:  frlmsplit2  20516  frlmphllem  20523  frlmphl  20524  uvcresum  20536  frlmsslsp  20539  frlmup1  20541  rrxcph  23598