Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmelbas 20892
 Description: Membership in the base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmelbas.n 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmelbas.z 0 = (0g𝑅)
frlmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmelbas ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0 )))

Proof of Theorem frlmelbas
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmelbas.n . . . . 5 𝑁 = (Base‘𝑅)
3 frlmelbas.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4 eqid 2819 . . . . 5 {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
51, 2, 3, 4frlmbas 20891 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = (Base‘𝐹))
6 frlmelbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
75, 6syl6reqr 2873 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
87eleq2d 2896 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }))
9 breq1 5060 . . 3 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘 finSupp 0𝑋 finSupp 0 ))
109elrab 3678 . 2 (𝑋 ∈ {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } ↔ (𝑋 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
118, 10syl6bb 289 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {crab 3140   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398   finSupp cfsupp 8825  Basecbs 16475  0gc0g 16705   freeLMod cfrlm 20882 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-dsmm 20868  df-frlm 20883 This theorem is referenced by:  frlmbasfsupp  20894  frlmbasmap  20895  frlmsplit2  20909  uvcff  20927  islinds5  30925  fedgmullem2  31014
 Copyright terms: Public domain W3C validator