Theorem frlmvscafval 21631

Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscafval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscafval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscafval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscafval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscafval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscafval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmvscafval.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmvscafval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	frlmrcl 21622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6		frlmvscafval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	2, 3	frlmpws 21615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
9	8	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10		frlmvscafval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	3	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
13		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	12, 13	ressvsca 17290	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
16	9, 10, 15	3eqtr4g 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	16	oveqd 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
18		eqid 2724	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
19		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		frlmvscafval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rlmvsca 21048	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	eqtri 2752	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
24		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
25		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
26		frlmvscafval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		frlmvscafval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
28		rlmsca 21046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
29	5, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
31	27, 30	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
32	26, 31	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
33	8	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
34	3, 33	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
35	12, 19	ressbasss 17184	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
36	34, 35	eqsstrdi 4029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	36, 1	sseldd 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
38	18, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37	pwsvscafval 17441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
39	17, 38	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621   × cxp 5665  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘_f cof 7662  Basecbs 17145   ↾_s cress 17174  ._rcmulr 17199  Scalarcsca 17201   ·_𝑠 cvsca 17202   ↑_s cpws 17393  ringLModcrglmod 21012   freeLMod cfrlm 21611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-prds 17394  df-pws 17396  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-dsmm 21597  df-frlm 21612

This theorem is referenced by:  frlmvscaval  21633  uvcresum  21658  matvsca2  22254  matunitlindflem1  36978  matunitlindflem2  36979  frlmvscadiccat  41577  mhphf3  41664  0prjspnrel  41883  zlmodzxzscm  47247  aacllem  48060