![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > frlmvscafval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
frlmvscafval.y | โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) |
frlmvscafval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
frlmvscafval.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
frlmvscafval.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
frlmvscafval.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐พ) |
frlmvscafval.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
frlmvscafval.v | โข โ = ( ยท๐ โ๐) |
frlmvscafval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
frlmvscafval | โข (๐ โ (๐ด โ ๐) = ((๐ผ ร {๐ด}) โf ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | frlmvscafval.x | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
2 | frlmvscafval.y | . . . . . . . 8 โข ๐ = (๐ freeLMod ๐ผ) | |
3 | frlmvscafval.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
4 | 2, 3 | frlmrcl 21678 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ V) |
5 | 1, 4 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ V) |
6 | frlmvscafval.i | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
7 | 2, 3 | frlmpws 21671 | . . . . . 6 โข ((๐ โ V โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) |
8 | 5, 6, 7 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) |
9 | 8 | fveq2d 6895 | . . . 4 โข (๐ โ ( ยท๐ โ๐) = ( ยท๐ โ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต))) |
10 | frlmvscafval.v | . . . 4 โข โ = ( ยท๐ โ๐) | |
11 | 3 | fvexi 6905 | . . . . 5 โข ๐ต โ V |
12 | eqid 2727 | . . . . . 6 โข (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต) = (((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต) | |
13 | eqid 2727 | . . . . . 6 โข ( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = ( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) | |
14 | 12, 13 | ressvsca 17316 | . . . . 5 โข (๐ต โ V โ ( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = ( ยท๐ โ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต))) |
15 | 11, 14 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = ( ยท๐ โ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) |
16 | 9, 10, 15 | 3eqtr4g 2792 | . . 3 โข (๐ โ โ = ( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
17 | 16 | oveqd 7431 | . 2 โข (๐ โ (๐ด โ ๐) = (๐ด( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))๐)) |
18 | eqid 2727 | . . 3 โข ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) = ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) | |
19 | eqid 2727 | . . 3 โข (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) = (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) | |
20 | frlmvscafval.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
21 | rlmvsca 21082 | . . . 4 โข (.rโ๐ ) = ( ยท๐ โ(ringLModโ๐ )) | |
22 | 20, 21 | eqtri 2755 | . . 3 โข ยท = ( ยท๐ โ(ringLModโ๐ )) |
23 | eqid 2727 | . . 3 โข (Scalarโ(ringLModโ๐ )) = (Scalarโ(ringLModโ๐ )) | |
24 | eqid 2727 | . . 3 โข (Baseโ(Scalarโ(ringLModโ๐ ))) = (Baseโ(Scalarโ(ringLModโ๐ ))) | |
25 | fvexd 6906 | . . 3 โข (๐ โ (ringLModโ๐ ) โ V) | |
26 | frlmvscafval.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐พ) | |
27 | frlmvscafval.k | . . . . 5 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
28 | rlmsca 21080 | . . . . . . 7 โข (๐ โ V โ ๐ = (Scalarโ(ringLModโ๐ ))) | |
29 | 5, 28 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ = (Scalarโ(ringLModโ๐ ))) |
30 | 29 | fveq2d 6895 | . . . . 5 โข (๐ โ (Baseโ๐ ) = (Baseโ(Scalarโ(ringLModโ๐ )))) |
31 | 27, 30 | eqtrid 2779 | . . . 4 โข (๐ โ ๐พ = (Baseโ(Scalarโ(ringLModโ๐ )))) |
32 | 26, 31 | eleqtrd 2830 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ (Baseโ(Scalarโ(ringLModโ๐ )))) |
33 | 8 | fveq2d 6895 | . . . . . 6 โข (๐ โ (Baseโ๐) = (Baseโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต))) |
34 | 3, 33 | eqtrid 2779 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต))) |
35 | 12, 19 | ressbasss 17210 | . . . . 5 โข (Baseโ(((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ) โพs ๐ต)) โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ)) |
36 | 34, 35 | eqsstrdi 4032 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
37 | 36, 1 | sseldd 3979 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (Baseโ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))) |
38 | 18, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37 | pwsvscafval 17467 | . 2 โข (๐ โ (๐ด( ยท๐ โ((ringLModโ๐ ) โs ๐ผ))๐) = ((๐ผ ร {๐ด}) โf ยท ๐)) |
39 | 17, 38 | eqtrd 2767 | 1 โข (๐ โ (๐ด โ ๐) = ((๐ผ ร {๐ด}) โf ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 {csn 4624 ร cxp 5670 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โf cof 7677 Basecbs 17171 โพs cress 17200 .rcmulr 17225 Scalarcsca 17227 ยท๐ cvsca 17228 โs cpws 17419 ringLModcrglmod 21046 freeLMod cfrlm 21667 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-map 8838 df-ixp 8908 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-sup 9457 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-4 12299 df-5 12300 df-6 12301 df-7 12302 df-8 12303 df-9 12304 df-n0 12495 df-z 12581 df-dec 12700 df-uz 12845 df-fz 13509 df-struct 17107 df-sets 17124 df-slot 17142 df-ndx 17154 df-base 17172 df-ress 17201 df-plusg 17237 df-mulr 17238 df-sca 17240 df-vsca 17241 df-ip 17242 df-tset 17243 df-ple 17244 df-ds 17246 df-hom 17248 df-cco 17249 df-prds 17420 df-pws 17422 df-sra 21047 df-rgmod 21048 df-dsmm 21653 df-frlm 21668 |
This theorem is referenced by: frlmvscaval 21689 uvcresum 21714 matvsca2 22317 matunitlindflem1 37024 matunitlindflem2 37025 frlmvscadiccat 41666 mhphf3 41754 0prjspnrel 41973 zlmodzxzscm 47344 aacllem 48157 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |