MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscafval 20479
Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscafval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmvscafval.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscafval.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmvscafval.v = ( ·𝑠𝑌)
frlmvscafval.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmvscafval (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval
StepHypRef Expression
1 frlmvscafval.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 frlmvscafval.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 frlmvscafval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
42, 3frlmrcl 20471 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑅 ∈ V)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ V)
6 frlmvscafval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
72, 3frlmpws 20464 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
85, 6, 7syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
98fveq2d 6441 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10 frlmvscafval.v . . . 4 = ( ·𝑠𝑌)
113fvexi 6451 . . . . 5 𝐵 ∈ V
12 eqid 2825 . . . . . 6 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
13 eqid 2825 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
1412, 13ressvsca 16398 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
1511, 14ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
169, 10, 153eqtr4g 2886 . . 3 (𝜑 = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1716oveqd 6927 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
18 eqid 2825 . . 3 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
19 eqid 2825 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
20 frlmvscafval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
21 rlmvsca 19570 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
2220, 21eqtri 2849 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23 eqid 2825 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
24 eqid 2825 . . 3 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
25 fvexd 6452 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
26 frlmvscafval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
27 frlmvscafval.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
28 rlmsca 19568 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
295, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
3029fveq2d 6441 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
3127, 30syl5eq 2873 . . . 4 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
3226, 31eleqtrd 2908 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
338fveq2d 6441 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
343, 33syl5eq 2873 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
3512, 19ressbasss 16302 . . . . 5 (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
3634, 35syl6eqss 3880 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3736, 1sseldd 3828 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3818, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37pwsvscafval 16514 . 2 (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
3917, 38eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  {csn 4399   × cxp 5344  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑓 cof 7160  Basecbs 16229  s cress 16230  .rcmulr 16313  Scalarcsca 16315   ·𝑠 cvsca 16316  s cpws 16467  ringLModcrglmod 19537   freeLMod cfrlm 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-prds 16468  df-pws 16470  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-dsmm 20446  df-frlm 20461
This theorem is referenced by:  frlmvscaval  20481  uvcresum  20506  matvsca2  20608  matunitlindflem1  33944  matunitlindflem2  33945  zlmodzxzscm  42996  aacllem  43453
  Copyright terms: Public domain W3C validator