Theorem frlmvscafval 21682

Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscafval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscafval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscafval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscafval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscafval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscafval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmvscafval.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmvscafval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	frlmrcl 21673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6		frlmvscafval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	2, 3	frlmpws 21666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
9	8	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10		frlmvscafval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	3	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	12, 13	ressvsca 17314	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
16	9, 10, 15	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	16	oveqd 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
18		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
19		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		frlmvscafval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rlmvsca 21114	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	eqtri 2753	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
24		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
25		fvexd 6876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
26		frlmvscafval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		frlmvscafval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
28		rlmsca 21112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
29	5, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
31	27, 30	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
32	26, 31	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
33	8	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
34	3, 33	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
35	12, 19	ressbasss 17216	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
36	34, 35	eqsstrdi 3994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	36, 1	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
38	18, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37	pwsvscafval 17464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
39	17, 38	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  {csn 4592   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231   ↑_s cpws 17416  ringLModcrglmod 21086   freeLMod cfrlm 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-prds 17417  df-pws 17419  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663

This theorem is referenced by:  frlmvscaval  21684  uvcresum  21709  matvsca2  22322  matunitlindflem1  37617  matunitlindflem2  37618  frlmvscadiccat  42501  mhphf3  42594  0prjspnrel  42622  zlmodzxzscm  48349  aacllem  49794