Theorem frlmvscafval 21786

Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscafval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscafval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscafval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscafval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscafval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscafval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmvscafval.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmvscafval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	frlmrcl 21777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6		frlmvscafval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	2, 3	frlmpws 21770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
9	8	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10		frlmvscafval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	3	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	12, 13	ressvsca 17388	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
16	9, 10, 15	3eqtr4g 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	16	oveqd 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		frlmvscafval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rlmvsca 21207	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	eqtri 2765	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
24		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
25		fvexd 6921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
26		frlmvscafval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		frlmvscafval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
28		rlmsca 21205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
29	5, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
31	27, 30	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
32	26, 31	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
33	8	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
34	3, 33	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
35	12, 19	ressbasss 17284	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
36	34, 35	eqsstrdi 4028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	36, 1	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
38	18, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37	pwsvscafval 17539	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
39	17, 38	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626   × cxp 5683  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301   ↑_s cpws 17491  ringLModcrglmod 21171   freeLMod cfrlm 21766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-prds 17492  df-pws 17494  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767

This theorem is referenced by:  frlmvscaval  21788  uvcresum  21813  matvsca2  22434  matunitlindflem1  37623  matunitlindflem2  37624  frlmvscadiccat  42516  mhphf3  42609  0prjspnrel  42637  zlmodzxzscm  48273  aacllem  49320