MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscafval 21188
Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscafval.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmvscafval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmvscafval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
frlmvscafval.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
frlmvscafval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
frlmvscafval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
frlmvscafval.v โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
frlmvscafval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmvscafval (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem frlmvscafval
StepHypRef Expression
1 frlmvscafval.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 frlmvscafval.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
3 frlmvscafval.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
42, 3frlmrcl 21179 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
6 frlmvscafval.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
72, 3frlmpws 21172 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ V โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
98fveq2d 6851 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ) = ( ยท๐‘  โ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
10 frlmvscafval.v . . . 4 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
113fvexi 6861 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
12 eqid 2737 . . . . . 6 (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต) = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)
13 eqid 2737 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
1412, 13ressvsca 17232 . . . . 5 (๐ต โˆˆ V โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = ( ยท๐‘  โ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
1511, 14ax-mp 5 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = ( ยท๐‘  โ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
169, 10, 153eqtr4g 2802 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
1716oveqd 7379 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = (๐ด( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐‘‹))
18 eqid 2737 . . 3 ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) = ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)
19 eqid 2737 . . 3 (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
20 frlmvscafval.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
21 rlmvsca 20687 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = ( ยท๐‘  โ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
2220, 21eqtri 2765 . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
23 eqid 2737 . . 3 (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)) = (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
24 eqid 2737 . . 3 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)))
25 fvexd 6862 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
26 frlmvscafval.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
27 frlmvscafval.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
28 rlmsca 20685 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐‘… = (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)))
295, 28syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)))
3029fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))))
3127, 30eqtrid 2789 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))))
3226, 31eleqtrd 2840 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))))
338fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
343, 33eqtrid 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
3512, 19ressbasss 17128 . . . . 5 (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)) โŠ† (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
3634, 35eqsstrdi 4003 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
3736, 1sseldd 3950 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
3818, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37pwsvscafval 17383 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))
3917, 38eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆ˜f cof 7620  Basecbs 17090   โ†พs cress 17119  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143   ยท๐‘  cvsca 17144   โ†‘s cpws 17335  ringLModcrglmod 20646   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336  df-pws 17338  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169
This theorem is referenced by:  frlmvscaval  21190  uvcresum  21215  matvsca2  21793  matunitlindflem1  36103  matunitlindflem2  36104  frlmvscadiccat  40710  mhphf3  40802  0prjspnrel  40994  zlmodzxzscm  46507  aacllem  47322
  Copyright terms: Public domain W3C validator