MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscafval 21687
Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscafval.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmvscafval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmvscafval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
frlmvscafval.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
frlmvscafval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
frlmvscafval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
frlmvscafval.v โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
frlmvscafval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmvscafval (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem frlmvscafval
StepHypRef Expression
1 frlmvscafval.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 frlmvscafval.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
3 frlmvscafval.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
42, 3frlmrcl 21678 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
6 frlmvscafval.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
72, 3frlmpws 21671 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ V โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
85, 6, 7syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
98fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ) = ( ยท๐‘  โ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
10 frlmvscafval.v . . . 4 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
113fvexi 6905 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
12 eqid 2727 . . . . . 6 (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต) = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)
13 eqid 2727 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
1412, 13ressvsca 17316 . . . . 5 (๐ต โˆˆ V โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = ( ยท๐‘  โ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
1511, 14ax-mp 5 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = ( ยท๐‘  โ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
169, 10, 153eqtr4g 2792 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
1716oveqd 7431 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = (๐ด( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐‘‹))
18 eqid 2727 . . 3 ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) = ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)
19 eqid 2727 . . 3 (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
20 frlmvscafval.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
21 rlmvsca 21082 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = ( ยท๐‘  โ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
2220, 21eqtri 2755 . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
23 eqid 2727 . . 3 (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)) = (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
24 eqid 2727 . . 3 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)))
25 fvexd 6906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
26 frlmvscafval.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
27 frlmvscafval.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
28 rlmsca 21080 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐‘… = (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)))
295, 28syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = (Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…)))
3029fveq2d 6895 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))))
3127, 30eqtrid 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))))
3226, 31eleqtrd 2830 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))))
338fveq2d 6895 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
343, 33eqtrid 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
3512, 19ressbasss 17210 . . . . 5 (Baseโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)) โІ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
3634, 35eqsstrdi 4032 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โІ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
3736, 1sseldd 3979 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
3818, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37pwsvscafval 17467 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด( ยท๐‘  โ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))
3917, 38eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7677  Basecbs 17171   โ†พs cress 17200  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ยท๐‘  cvsca 17228   โ†‘s cpws 17419  ringLModcrglmod 21046   freeLMod cfrlm 21667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-prds 17420  df-pws 17422  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668
This theorem is referenced by:  frlmvscaval  21689  uvcresum  21714  matvsca2  22317  matunitlindflem1  37024  matunitlindflem2  37025  frlmvscadiccat  41666  mhphf3  41754  0prjspnrel  41973  zlmodzxzscm  47344  aacllem  48157
  Copyright terms: Public domain W3C validator