Theorem frlmvscafval 21746

Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscafval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscafval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscafval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscafval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscafval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscafval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem frlmvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscafval.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmvscafval.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmvscafval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	2, 3	frlmrcl 21737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
6		frlmvscafval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	2, 3	frlmpws 21730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
9	8	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10		frlmvscafval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	3	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	12, 13	ressvsca 17307	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
16	9, 10, 15	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	16	oveqd 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋))
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
19		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
20		frlmvscafval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rlmvsca 21195	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	eqtri 2759	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
25		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
26		frlmvscafval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		frlmvscafval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
28		rlmsca 21193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
29	5, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
31	27, 30	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
32	26, 31	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
33	8	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
34	3, 33	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
35	12, 19	ressbasss 17209	. . . . 5 ⊢ (Base‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
36	34, 35	eqsstrdi 3966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	36, 1	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
38	18, 19, 22, 13, 23, 24, 25, 6, 32, 37	pwsvscafval 17458	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
39	17, 38	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224   ↑_s cpws 17409  ringLModcrglmod 21167   freeLMod cfrlm 21726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727

This theorem is referenced by:  frlmvscaval  21748  uvcresum  21773  matvsca2  22393  matunitlindflem1  37937  matunitlindflem2  37938  frlmvscadiccat  42951  mhphf3  43032  0prjspnrel  43060  zlmodzxzscm  48833  aacllem  50276