Theorem frlmbasmap 21738

Description: Elements of the free module are set functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbasmap.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbasmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbasmap	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼))

Proof of Theorem frlmbasmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmbasmap.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	frlmrcl 21736	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		frlmbasmap.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	2, 6, 7, 3	frlmelbas 21735	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
9	4, 5, 8	syl2an2 693	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
10	1, 9	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
11	10	simpld 496	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17174  0_gc0g 17397   freeLMod cfrlm 21725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-dsmm 21711  df-frlm 21726

This theorem is referenced by:  frlmbasf  21739  frlmsubgval  21744  frlmvplusgvalc  21746  frlmplusgvalb  21748  frlmvscavalb  21749  frlmipval  21758  frlmphllem  21759  frlmphl  21760  frlmsslsp  21775  rrxds  25382  mhphf3  43064  0prjspnrel  43092