Theorem fmtnoinf 47999

Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoinf	⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnof1 47998	. . . 4 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ
2		f1f 6736	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3		fdm 6677	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4		nnssnn0 12440	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
5		nnnfi 13928	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
6		ssfi 9107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
7	6	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
8	7	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
9	4, 5, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℕ0 ∈ Fin
10		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13		ffun 6671	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14		fundmfibi 9246	. . . . . 6 ⊢ (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
16	12, 15	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
17	1, 2, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ¬ FermatNo ∈ Fin
18		nn0ex 12443	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
19		f1dmvrnfibi 9251	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
20	19	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
21	18, 1, 20	mp2an 693	. . 3 ⊢ (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ ran FermatNo ∈ Fin
23	22	nelir 3039	1 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3036  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  dom cdm 5631  ran crn 5632  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  –1-1→wf1 6495  Fincfn 8893  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  FermatNocfmtno 47990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fmtno 47991

This theorem is referenced by:  prminf2  48051