Theorem fmtnoinf 48021

Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoinf	⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnof1 48020	. . . 4 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ
2		f1f 6730	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3		fdm 6671	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4		nnssnn0 12438	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
5		nnnfi 13926	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
6		ssfi 9104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
7	6	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
8	7	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
9	4, 5, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℕ0 ∈ Fin
10		eleq1 2828	. . . . . . 7 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
11	9, 10	mtbiri 328	. . . . . 6 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13		ffun 6665	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14		fundmfibi 9243	. . . . . 6 ⊢ (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
16	12, 15	mtbird 326	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
17	1, 2, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ¬ FermatNo ∈ Fin
18		nn0ex 12441	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
19		f1dmvrnfibi 9248	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
20	19	notbid 319	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
21	18, 1, 20	mp2an 698	. . 3 ⊢ (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
22	17, 21	mpbi 231	. 2 ⊢ ¬ ran FermatNo ∈ Fin
23	22	nelir 3042	1 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3039  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  dom cdm 5625  ran crn 5626  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  Fincfn 8890  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  FermatNocfmtno 48012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fmtno 48013

This theorem is referenced by:  prminf2  48073