Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoinf 47461
Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoinf ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf
StepHypRef Expression
1 fmtnof1 47460 . . . 4 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
2 f1f 6805 . . . 4 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3 fdm 6746 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4 nnssnn0 12527 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ0
5 nnnfi 14004 . . . . . . . 8 ¬ ℕ ∈ Fin
6 ssfi 9212 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
76expcom 413 . . . . . . . . 9 (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
87con3d 152 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
94, 5, 8mp2 9 . . . . . . 7 ¬ ℕ0 ∈ Fin
10 eleq1 2827 . . . . . . 7 (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
119, 10mtbiri 327 . . . . . 6 (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
123, 11syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13 ffun 6740 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14 fundmfibi 9374 . . . . . 6 (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1612, 15mtbird 325 . . . 4 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
171, 2, 16mp2b 10 . . 3 ¬ FermatNo ∈ Fin
18 nn0ex 12530 . . . 4 0 ∈ V
19 f1dmvrnfibi 9379 . . . . 5 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
2019notbid 318 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
2118, 1, 20mp2an 692 . . 3 (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
2217, 21mpbi 230 . 2 ¬ ran FermatNo ∈ Fin
2322nelir 3047 1 ran FermatNo ∉ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  Vcvv 3478  wss 3963  dom cdm 5689  ran crn 5690  Fun wfun 6557  wf 6559  1-1wf1 6560  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  FermatNocfmtno 47452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fmtno 47453
This theorem is referenced by:  prminf2  47513
  Copyright terms: Public domain W3C validator