Theorem fmtnoinf 43697

Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoinf	⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnof1 43696	. . . 4 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ
2		f1f 6574	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3		fdm 6521	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4		nnssnn0 11899	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
5		nnnfi 13333	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
6		ssfi 8737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
7	6	expcom 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
8	7	con3d 155	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
9	4, 5, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℕ0 ∈ Fin
10		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
11	9, 10	mtbiri 329	. . . . . 6 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13		ffun 6516	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14		fundmfibi 8802	. . . . . 6 ⊢ (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
16	12, 15	mtbird 327	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
17	1, 2, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ¬ FermatNo ∈ Fin
18		nn0ex 11902	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
19		f1dmvrnfibi 8807	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
20	19	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
21	18, 1, 20	mp2an 690	. . 3 ⊢ (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
22	17, 21	mpbi 232	. 2 ⊢ ¬ ran FermatNo ∈ Fin
23	22	nelir 3126	1 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3123  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  dom cdm 5554  ran crn 5555  Fun wfun 6348  ⟶wf 6350  –1-1→wf1 6351  Fincfn 8508  ℕcn 11637  ℕ₀cn0 11896  FermatNocfmtno 43688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fmtno 43689

This theorem is referenced by:  prminf2  43749