Theorem fmtnoinf 47890

Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoinf	⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnof1 47889	. . . 4 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ
2		f1f 6738	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3		fdm 6679	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4		nnssnn0 12416	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
5		nnnfi 13901	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
6		ssfi 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
7	6	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
8	7	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
9	4, 5, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℕ0 ∈ Fin
10		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13		ffun 6673	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14		fundmfibi 9248	. . . . . 6 ⊢ (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
16	12, 15	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
17	1, 2, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ¬ FermatNo ∈ Fin
18		nn0ex 12419	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
19		f1dmvrnfibi 9253	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
20	19	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
21	18, 1, 20	mp2an 693	. . 3 ⊢ (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ ran FermatNo ∈ Fin
23	22	nelir 3040	1 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  dom cdm 5632  ran crn 5633  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  Fincfn 8895  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  FermatNocfmtno 47881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fmtno 47882

This theorem is referenced by:  prminf2  47942