Theorem fmtnoinf 44604

Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoinf	⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnof1 44603	. . . 4 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ
2		f1f 6593	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3		fdm 6532	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4		nnssnn0 12058	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
5		nnnfi 13504	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
6		ssfi 8829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
7	6	expcom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
8	7	con3d 155	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
9	4, 5, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℕ0 ∈ Fin
10		eleq1 2818	. . . . . . 7 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13		ffun 6526	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14		fundmfibi 8933	. . . . . 6 ⊢ (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
16	12, 15	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
17	1, 2, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ¬ FermatNo ∈ Fin
18		nn0ex 12061	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
19		f1dmvrnfibi 8938	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
20	19	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
21	18, 1, 20	mp2an 692	. . 3 ⊢ (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
22	17, 21	mpbi 233	. 2 ⊢ ¬ ran FermatNo ∈ Fin
23	22	nelir 3039	1 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∉ wnel 3036  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853  dom cdm 5536  ran crn 5537  Fun wfun 6352  ⟶wf 6354  –1-1→wf1 6355  Fincfn 8604  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055  FermatNocfmtno 44595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fmtno 44596

This theorem is referenced by:  prminf2  44656