Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoinf 47523
Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoinf ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf
StepHypRef Expression
1 fmtnof1 47522 . . . 4 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
2 f1f 6804 . . . 4 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3 fdm 6745 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4 nnssnn0 12529 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ0
5 nnnfi 14007 . . . . . . . 8 ¬ ℕ ∈ Fin
6 ssfi 9213 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
76expcom 413 . . . . . . . . 9 (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
87con3d 152 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
94, 5, 8mp2 9 . . . . . . 7 ¬ ℕ0 ∈ Fin
10 eleq1 2829 . . . . . . 7 (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
119, 10mtbiri 327 . . . . . 6 (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
123, 11syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13 ffun 6739 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14 fundmfibi 9376 . . . . . 6 (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1612, 15mtbird 325 . . . 4 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
171, 2, 16mp2b 10 . . 3 ¬ FermatNo ∈ Fin
18 nn0ex 12532 . . . 4 0 ∈ V
19 f1dmvrnfibi 9381 . . . . 5 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
2019notbid 318 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
2118, 1, 20mp2an 692 . . 3 (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
2217, 21mpbi 230 . 2 ¬ ran FermatNo ∈ Fin
2322nelir 3049 1 ran FermatNo ∉ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  Vcvv 3480  wss 3951  dom cdm 5685  ran crn 5686  Fun wfun 6555  wf 6557  1-1wf1 6558  Fincfn 8985  cn 12266  0cn0 12526  FermatNocfmtno 47514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fmtno 47515
This theorem is referenced by:  prminf2  47575
  Copyright terms: Public domain W3C validator