Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoinf 43100
Description: The set of Fermat numbers is infinite. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoinf ran FermatNo ∉ Fin

Proof of Theorem fmtnoinf
StepHypRef Expression
1 fmtnof1 43099 . . . 4 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
2 f1f 6401 . . . 4 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ → FermatNo:ℕ0⟶ℕ)
3 fdm 6349 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → dom FermatNo = ℕ0)
4 nnssnn0 11708 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ0
5 nnnfi 13147 . . . . . . . 8 ¬ ℕ ∈ Fin
6 ssfi 8531 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → ℕ ∈ Fin)
76expcom 406 . . . . . . . . 9 (ℕ ⊆ ℕ0 → (ℕ0 ∈ Fin → ℕ ∈ Fin))
87con3d 150 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℕ0 → (¬ ℕ ∈ Fin → ¬ ℕ0 ∈ Fin))
94, 5, 8mp2 9 . . . . . . 7 ¬ ℕ0 ∈ Fin
10 eleq1 2846 . . . . . . 7 (dom FermatNo = ℕ0 → (dom FermatNo ∈ Fin ↔ ℕ0 ∈ Fin))
119, 10mtbiri 319 . . . . . 6 (dom FermatNo = ℕ0 → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
123, 11syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ dom FermatNo ∈ Fin)
13 ffun 6344 . . . . . 6 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → Fun FermatNo)
14 fundmfibi 8596 . . . . . 6 (Fun FermatNo → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → (FermatNo ∈ Fin ↔ dom FermatNo ∈ Fin))
1612, 15mtbird 317 . . . 4 (FermatNo:ℕ0⟶ℕ → ¬ FermatNo ∈ Fin)
171, 2, 16mp2b 10 . . 3 ¬ FermatNo ∈ Fin
18 nn0ex 11712 . . . 4 0 ∈ V
19 f1dmvrnfibi 8601 . . . . 5 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (FermatNo ∈ Fin ↔ ran FermatNo ∈ Fin))
2019notbid 310 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ FermatNo:ℕ01-1→ℕ) → (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin))
2118, 1, 20mp2an 680 . . 3 (¬ FermatNo ∈ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
2217, 21mpbi 222 . 2 ¬ ran FermatNo ∈ Fin
2322nelir 3069 1 ran FermatNo ∉ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wnel 3066  Vcvv 3408  wss 3822  dom cdm 5403  ran crn 5404  Fun wfun 6179  wf 6181  1-1wf1 6182  Fincfn 8304  cn 11437  0cn0 11705  FermatNocfmtno 43091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fmtno 43092
This theorem is referenced by:  prminf2  43152
  Copyright terms: Public domain W3C validator