Theorem vtxdgfusgrf 29409

Description: The vertex degree function on finite simple graphs is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtxdgfusgrf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfusgrf	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfusgrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrfis 29241	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
2		fusgrusgr 29233	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	usgredgffibi 29235	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
7		usgrfun 29069	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
8		fundmfibi 9342	. . . . 5 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((iEdg‘𝐺) ∈ Fin ↔ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((iEdg‘𝐺) ∈ Fin ↔ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
10	6, 9	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
12		vtxdgfusgrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13		eqid 2734	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
14	12, 3, 13	vtxdgfisf 29388	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)
15	11, 14	mpdan 687	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  dom cdm 5651  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  Fincfn 8953  ℕ₀cn0 12493  Vtxcvtx 28907  iEdgciedg 28908  Edgcedg 28958  USGraphcusgr 29060  FinUSGraphcfusgr 29227  VtxDegcvtxdg 29377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-oadd 8478  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13121  df-fz 13514  df-hash 14337  df-vtx 28909  df-iedg 28910  df-edg 28959  df-uhgr 28969  df-upgr 28993  df-umgr 28994  df-uspgr 29061  df-usgr 29062  df-fusgr 29228  df-vtxdg 29378

This theorem is referenced by:  vtxdgfusgr  29410