Theorem vtxdgfusgrf 27431

Description: The vertex degree function on finite simple graphs is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtxdgfusgrf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfusgrf	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfusgrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrfis 27264	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
2		fusgrusgr 27256	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	usgredgffibi 27258	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
7		usgrfun 27095	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
8		fundmfibi 8869	. . . . 5 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((iEdg‘𝐺) ∈ Fin ↔ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((iEdg‘𝐺) ∈ Fin ↔ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
10	6, 9	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
12		vtxdgfusgrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
14	12, 3, 13	vtxdgfisf 27410	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)
15	11, 14	mpdan 687	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  dom cdm 5519  Fun wfun 6327  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  Fincfn 8548  ℕ₀cn0 11969  Vtxcvtx 26933  iEdgciedg 26934  Edgcedg 26984  USGraphcusgr 27086  FinUSGraphcfusgr 27250  VtxDegcvtxdg 27399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-xadd 12584  df-fz 12975  df-hash 13776  df-vtx 26935  df-iedg 26936  df-edg 26985  df-uhgr 26995  df-upgr 27019  df-umgr 27020  df-uspgr 27087  df-usgr 27088  df-fusgr 27251  df-vtxdg 27400

This theorem is referenced by:  vtxdgfusgr  27432