Theorem hashfundm 32582

Description: The size of a set function is equal to the size of its domain. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashfundm	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashfundm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfun 13848	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
2	1	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
3	2	adantld 494	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
4		hashinf 13745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐹) = +∞)
5	4	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐹) = +∞)
6		fundmfibi 8836	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
7	6	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (¬ 𝐹 ∈ Fin ↔ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin))
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (¬ 𝐹 ∈ Fin ↔ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin))
9		dmexg 7613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
10		hashinf 13745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘dom 𝐹) = +∞)
11	9, 10	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘dom 𝐹) = +∞)
12	11	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (¬ dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) = +∞))
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (¬ dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) = +∞))
14	8, 13	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (¬ 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) = +∞))
15	14	3impia 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘dom 𝐹) = +∞)
16	5, 15	eqtr4d 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
17	16	3comr 1122	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
18	17	3expib 1119	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
19	3, 18	pm2.61i 185	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  dom cdm 5524  Fun wfun 6329  ‘cfv 6335  Fincfn 8527  +∞cpnf 10710  ♯chash 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-hash 13741

This theorem is referenced by:  hashf1dmrn  32583