Theorem hashfundm 14398

Description: The size of a set function is equal to the size of its domain. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
hashfundm	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))

Proof of Theorem hashfundm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfun 14393	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
2	1	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
3	2	adantld 490	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
4		hashinf 14291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐹) = +∞)
5	4	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐹) = +∞)
6		fundmfibi 9240	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
7	6	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (¬ 𝐹 ∈ Fin ↔ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin))
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (¬ 𝐹 ∈ Fin ↔ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin))
9		dmexg 7846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
10		hashinf 14291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘dom 𝐹) = +∞)
11	9, 10	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘dom 𝐹) = +∞)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (¬ dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) = +∞))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (¬ dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) = +∞))
14	8, 13	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (¬ 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) = +∞))
15	14	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘dom 𝐹) = +∞)
16	5, 15	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
17	16	3comr 1126	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
18	17	3expib 1123	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
19	3, 18	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  dom cdm 5625  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  +∞cpnf 11170  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  hashf1dmrn  14399  wrdpmtrlast  33172  extdgfialglem1  33855