Theorem fsumrev2 15689

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev2.2	⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumrev2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15628	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = 0
2		sum0 15628	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
3	1, 2	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
4		sumeq1 15596	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴)
5		sumeq1 15596	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
6	3, 4, 5	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀...𝑁) = ∅) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
8		fzn0 13441	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		eluzel2 12740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		eluzelz 12745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	10, 12	zaddcld 12584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14		fsumrev2.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		fsumrev2.2	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
17	13, 10, 12, 15, 16	fsumrev 15686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵)
18	10	zcnd 12581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19	12	zcnd 12581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncand 11476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
21	18, 19	pncan2d 11477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
22	20, 21	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
23	22	sumeq1d 15607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
24	17, 23	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
25	8, 24	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀...𝑁) ≠ ∅) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
26	7, 25	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009   + caddc 11012   − cmin 11347  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  fsum0diag2  15690  efaddlem  16000  aareccl  26232