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Theorem fzdifsuc2 44319
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13566, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2 zre 12567 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43ltm1d 12151 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
51, 4eqbrtrd 5170 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12837 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 fzn 13522 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
106, 8, 9syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
115, 10mpbid 231 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12 difid 4370 . . . . . 6 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
1413eqcomd 2737 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
1615adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
172recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1817ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19 1cnd 11214 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 11580 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2116, 20eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
2221oveq2d 7428 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23 fzsn 13548 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2423ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2522, 24eqtr2d 2772 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
2621eqcomd 2737 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
2726sneqd 4640 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
2825, 27difeq12d 4123 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
2911, 14, 283eqtrd 2775 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
317ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
322ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 1red 11220 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
3432, 33resubcld 11647 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3531zred 12671 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36 eluzle 12840 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
3736ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38 neqne 2947 . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
3938adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
4034, 35, 37, 39leneltd 11373 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41 zlem1lt 12619 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4230, 31, 41syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4340, 42mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀𝑁)
4430, 31, 433jca 1127 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
45 eluz2 12833 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 233 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
47 fzdifsuc 13566 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4846, 47syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4929, 48pm2.61dan 810 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50 eluzel2 12832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5150con3i 154 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
52 fzn0 13520 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5351, 52sylnibr 329 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54 nne 2943 . . . . 5 (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
5553, 54sylib 217 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56 eluzel2 12832 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5756con3i 154 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
58 fzn0 13520 . . . . . . . 8 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5957, 58sylnibr 329 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60 nne 2943 . . . . . . 7 (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6159, 60sylib 217 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6261difeq1d 4121 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63 0dif 4401 . . . . . 6 (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
6463a1i 11 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
6562, 64eqtr2d 2772 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6655, 65eqtrd 2771 . . 3 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6766adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6849, 67pm2.61dan 810 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cdif 3945  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11112  cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253  cle 11254  cmin 11449  cz 12563  cuz 12827  ...cfz 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490
This theorem is referenced by:  dvnmul  44958
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