Theorem fzdifsuc2 45421

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13484, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2		zre 12472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	ltm1d 12054	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5	1, 4	eqbrtrd 5111	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fzn 13440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
11	5, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12		difid 4323	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
14	13	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
17	2	recnd 11140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		1cnd 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 11476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
21	16, 20	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
22	21	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23		fzsn 13466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
25	22, 24	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
26	21	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
27	26	sneqd 4585	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
28	25, 27	difeq12d 4074	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
29	11, 14, 28	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	2	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		1red 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11545	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
35	31	zred 12577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36		eluzle 12745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38		neqne 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
40	34, 35, 37, 39	leneltd 11267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41		zlem1lt 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
42	30, 31, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
43	40, 42	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
44	30, 31, 43	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
45		eluz2 12738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fzdifsuc 13484	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
49	29, 48	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50		eluzel2 12737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52		fzn0 13438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	51, 52	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54		nne 2932	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
55	53, 54	sylib 218	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56		eluzel2 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
57	56	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		fzn0 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	57, 58	sylnibr 329	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60		nne 2932	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
61	59, 60	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
62	61	difeq1d 4072	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63		0dif 4352	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
65	62, 64	eqtr2d 2767	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
66	55, 65	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
67	66	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
68	49, 67	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  ∅c0 4280  {csn 4573   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  dvnmul  46051