Theorem fzdifsuc2 45308

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13545, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2		zre 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	ltm1d 12115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5	1, 4	eqbrtrd 5129	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fzn 13501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
11	5, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12		difid 4339	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
14	13	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
17	2	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
21	16, 20	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
22	21	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23		fzsn 13527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
25	22, 24	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
26	21	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
27	26	sneqd 4601	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
28	25, 27	difeq12d 4090	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
29	11, 14, 28	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	2	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		1red 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
35	31	zred 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36		eluzle 12806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38		neqne 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
40	34, 35, 37, 39	leneltd 11328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41		zlem1lt 12585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
42	30, 31, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
43	40, 42	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
44	30, 31, 43	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
45		eluz2 12799	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fzdifsuc 13545	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
49	29, 48	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50		eluzel2 12798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52		fzn0 13499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	51, 52	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54		nne 2929	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
55	53, 54	sylib 218	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56		eluzel2 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
57	56	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		fzn0 13499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	57, 58	sylnibr 329	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60		nne 2929	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
61	59, 60	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
62	61	difeq1d 4088	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63		0dif 4368	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
65	62, 64	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
66	55, 65	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
67	66	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
68	49, 67	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  dvnmul  45941