Theorem fzdifsuc2 45764

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13532, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2		zre 12522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	ltm1d 12082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5	1, 4	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fzn 13488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	6, 8, 9	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
11	5, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12		difid 4317	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
14	13	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15		oveq1 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
17	2	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		1cnd 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
21	16, 20	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
22	21	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23		fzsn 13514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
24	23	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
25	22, 24	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
26	21	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
27	26	sneqd 4580	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
28	25, 27	difeq12d 4068	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
29	11, 14, 28	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	2	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		1red 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
35	31	zred 12627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36		eluzle 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
37	36	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38		neqne 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
40	34, 35, 37, 39	leneltd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41		zlem1lt 12573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
42	30, 31, 41	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
43	40, 42	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
44	30, 31, 43	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
45		eluz2 12788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fzdifsuc 13532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
49	29, 48	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50		eluzel2 12787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52		fzn0 13486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	51, 52	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54		nne 2937	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
55	53, 54	sylib 218	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56		eluzel2 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
57	56	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		fzn0 13486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	57, 58	sylnibr 329	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60		nne 2937	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
61	59, 60	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
62	61	difeq1d 4066	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63		0dif 4346	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
65	62, 64	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
66	55, 65	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
67	66	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
68	49, 67	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456

This theorem is referenced by:  dvnmul  46392