Theorem fzdifsuc2 46049

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13608, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2		zre 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	ltm1d 12142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5	1, 4	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fzn 13563	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	6, 8, 9	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
11	5, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12		difid 4332	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
14	13	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
16	15	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
17	2	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		1cnd 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 11568	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
21	16, 20	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
22	21	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23		fzsn 13590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
24	23	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
25	22, 24	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
26	21	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
27	26	sneqd 4601	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
28	25, 27	difeq12d 4082	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
29	11, 14, 28	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	7	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	2	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		1red 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11637	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
35	31	zred 12695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36		eluzle 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38		neqne 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
39	38	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
40	34, 35, 37, 39	leneltd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41		zlem1lt 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
42	30, 31, 41	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
43	40, 42	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
44	30, 31, 43	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
45		eluz2 12863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fzdifsuc 13608	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
48	46, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
49	29, 48	pm2.61dan 824	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50		eluzel2 12862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52		fzn0 13561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	51, 52	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54		nne 2962	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
55	53, 54	sylib 221	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56		eluzel2 12862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
57	56	con3i 155	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		fzn0 13561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	57, 58	sylnibr 332	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60		nne 2962	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
61	59, 60	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
62	61	difeq1d 4080	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63		0dif 4363	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
65	62, 64	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
66	55, 65	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
67	66	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
68	49, 67	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  dvnmul  46677