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Theorem fzdifsuc2 43534
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13501, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2 zre 12503 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43ltm1d 12087 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
51, 4eqbrtrd 5127 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12773 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 fzn 13457 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
115, 10mpbid 231 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12 difid 4330 . . . . . 6 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
1413eqcomd 2742 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
1615adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
172recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1817ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 11516 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2116, 20eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
2221oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23 fzsn 13483 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2423ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2522, 24eqtr2d 2777 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
2621eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
2726sneqd 4598 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
2825, 27difeq12d 4083 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
2911, 14, 283eqtrd 2780 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
317ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
322ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 1red 11156 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
3432, 33resubcld 11583 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3531zred 12607 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36 eluzle 12776 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38 neqne 2951 . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
4034, 35, 37, 39leneltd 11309 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41 zlem1lt 12555 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4230, 31, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4340, 42mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀𝑁)
4430, 31, 433jca 1128 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
45 eluz2 12769 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 233 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
47 fzdifsuc 13501 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4846, 47syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4929, 48pm2.61dan 811 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50 eluzel2 12768 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5150con3i 154 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
52 fzn0 13455 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5351, 52sylnibr 328 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54 nne 2947 . . . . 5 (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
5553, 54sylib 217 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56 eluzel2 12768 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5756con3i 154 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
58 fzn0 13455 . . . . . . . 8 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5957, 58sylnibr 328 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60 nne 2947 . . . . . . 7 (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6159, 60sylib 217 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6261difeq1d 4081 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63 0dif 4361 . . . . . 6 (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
6463a1i 11 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
6562, 64eqtr2d 2777 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6655, 65eqtrd 2776 . . 3 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6766adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6849, 67pm2.61dan 811 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  dvnmul  44174
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