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Theorem fzdifsuc2 40163
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 12607, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2 zre 11628 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43ltm1d 11210 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
51, 4eqbrtrd 4831 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6 simplr 785 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11896 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 fzn 12564 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
106, 8, 9syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
115, 10mpbid 223 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12 difid 4113 . . . . . 6 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
1413eqcomd 2771 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
1615adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
172recnd 10322 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1817ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19 1cnd 10288 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 10650 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2116, 20eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
2221oveq2d 6858 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23 fzsn 12590 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2423ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2522, 24eqtr2d 2800 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
2621eqcomd 2771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
2726sneqd 4346 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
2825, 27difeq12d 3891 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
2911, 14, 283eqtrd 2803 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30 simplr 785 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
317ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
322ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 1red 10294 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
3432, 33resubcld 10712 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3531zred 11729 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36 eluzle 11899 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
3736ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38 neqne 2945 . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
3938adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
4034, 35, 37, 39leneltd 10445 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41 zlem1lt 11676 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4230, 31, 41syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4340, 42mpbird 248 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀𝑁)
4430, 31, 433jca 1158 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
45 eluz2 11892 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 225 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
47 fzdifsuc 12607 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4846, 47syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4929, 48pm2.61dan 847 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50 eluzel2 11891 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5150con3i 151 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
52 fzn0 12562 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5351, 52sylnibr 320 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54 nne 2941 . . . . 5 (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
5553, 54sylib 209 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56 eluzel2 11891 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5756con3i 151 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
58 fzn0 12562 . . . . . . . 8 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5957, 58sylnibr 320 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60 nne 2941 . . . . . . 7 (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6159, 60sylib 209 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6261difeq1d 3889 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63 0dif 4139 . . . . . 6 (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
6463a1i 11 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
6562, 64eqtr2d 2800 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6655, 65eqtrd 2799 . . 3 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6766adantl 473 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6849, 67pm2.61dan 847 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  dvnmul  40796
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