Theorem fzdifsuc2 45500

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 13498, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2		zre 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	ltm1d 12072	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5	1, 4	eqbrtrd 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fzn 13454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
11	5, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12		difid 4326	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
14	13	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
17	2	recnd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		1cnd 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 11494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
21	16, 20	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
22	21	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23		fzsn 13480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
25	22, 24	eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
26	21	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
27	26	sneqd 4590	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
28	25, 27	difeq12d 4077	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
29	11, 14, 28	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	2	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		1red 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11563	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
35	31	zred 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36		eluzle 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38		neqne 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
40	34, 35, 37, 39	leneltd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41		zlem1lt 12541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
42	30, 31, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
43	40, 42	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
44	30, 31, 43	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
45		eluz2 12755	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		fzdifsuc 13498	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
49	29, 48	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50		eluzel2 12754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52		fzn0 13452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	51, 52	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54		nne 2934	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
55	53, 54	sylib 218	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56		eluzel2 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
57	56	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58		fzn0 13452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	57, 58	sylnibr 329	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60		nne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
61	59, 60	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
62	61	difeq1d 4075	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63		0dif 4355	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
65	62, 64	eqtr2d 2770	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
66	55, 65	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
67	66	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
68	49, 67	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  dvnmul  46129