pntrsumbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntrsumbnd2 27596

Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

**Assertion**
Ref	Expression
pntrsumbnd2	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Distinct variable groups: 𝑘,𝑎,𝑚,𝑛 𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅 Allowed substitution hint: 𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2 Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntrval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd 27595	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3		2rp 13033	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4		rpmulcl 13051	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
5	3, 4	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
6		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
7	6	sumeq1d 15705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8	7	fveq2d 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9	8	breq1d 5163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11		nnz 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		peano2zm 12657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	rspcdva 3609	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
16	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpge0d 13074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18		sumeq1 15693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19		sum0 15725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
21	20	abs00bd 15296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
22	21	breq1d 5163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
23	17, 22	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
24	23	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
25	24	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26		fzn0 13569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
27		fzfid 13993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28		elfznn 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
31	1	pntrf 27592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
32	31	ffvelcdmi 7097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
34	29	peano2nnd 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
35	29, 34	nnmulcld 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
36	33, 35	nndivred 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
37	28, 36	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41		fzfid 13993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42		elfznn 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43	42, 36	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	41, 43	fsumrecl 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
48	47	rpred 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49		le2add 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
50	40, 46, 48, 48, 49	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
51	48	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	51	2timesd 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
53	52	breq2d 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54		fzfid 13993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56		elfzuz 13551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
57		eluznn 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
58	55, 56, 57	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
59	58, 36	syldan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
60	54, 59	fsumrecl 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	55	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
63	62	ltm1d 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64		fzdisj 13582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
66	55	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67		ax-1cn 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		npcan 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
69	66, 67, 68	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
70	69, 55	eqeltrd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71		nnuz 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
72	70, 71	eleqtrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
73	55	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
74	73, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
77	76, 67, 68	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
78	77	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ_≥‘𝑘))
79	78	eleq2d 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)))
80	79	biimpar 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)))
81		peano2uzr 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
82	74, 80, 81	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
83		fzsplit2 13580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
84	72, 82, 83	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
85	69	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
86	85	uneq2d 4163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
87	84, 86	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
88	37	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
89	65, 87, 27, 88	fsumsplit 15745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	45, 61, 89	mvrladdd 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
91	90	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
92	39, 45	abs2dif2d 15463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
93	91, 92	eqbrtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
94	61	abscld 15441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
95	40, 46	readdcld 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96		2re 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
98	97, 48	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99		letr 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
100	94, 95, 98, 99	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
101	93, 100	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
102	53, 101	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
103	50, 102	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104	103	ancomsd 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
105	26, 104	sylan2b 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
106	25, 105	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107	106	imp 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108	107	an4s 658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109	108	expr 455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110	109	ralimdva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111	110	impancom 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112	111	an32s 650	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
113	15, 112	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114	113	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115		breq2 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116	115	2ralbidv 3209	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117	116	rspcev 3608	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
118	5, 114, 117	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119	118	rexlimiva 3137	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
120	2, 119	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2930 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 ∪ cun 3945 ∩ cin 3946 ∅c0 4325 class class class wbr 5153 ↦ cmpt 5236 ‘cfv 6554 (class class class)co 7424 ℂcc 11156 ℝcr 11157 0cc0 11158 1c1 11159 + caddc 11161 · cmul 11163 < clt 11298 ≤ cle 11299 − cmin 11494 / cdiv 11921 ℕcn 12264 2c2 12319 ℤcz 12610 ℤ_≥cuz 12874 ℝ⁺crp 13028 ...cfz 13538 abscabs 15239 Σcsu 15690 ψcchp 27121

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2697 ax-rep 5290 ax-sep 5304 ax-nul 5311 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9684 ax-cnex 11214 ax-resscn 11215 ax-1cn 11216 ax-icn 11217 ax-addcl 11218 ax-addrcl 11219 ax-mulcl 11220 ax-mulrcl 11221 ax-mulcom 11222 ax-addass 11223 ax-mulass 11224 ax-distr 11225 ax-i2m1 11226 ax-1ne0 11227 ax-1rid 11228 ax-rnegex 11229 ax-rrecex 11230 ax-cnre 11231 ax-pre-lttri 11232 ax-pre-lttrn 11233 ax-pre-ltadd 11234 ax-pre-mulgt0 11235 ax-pre-sup 11236 ax-addf 11237

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3464 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3967 df-nul 4326 df-if 4534 df-pw 4609 df-sn 4634 df-pr 4636 df-tp 4638 df-op 4640 df-uni 4914 df-int 4955 df-iun 5003 df-iin 5004 df-br 5154 df-opab 5216 df-mpt 5237 df-tr 5271 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6312 df-ord 6379 df-on 6380 df-lim 6381 df-suc 6382 df-iota 6506 df-fun 6556 df-fn 6557 df-f 6558 df-f1 6559 df-fo 6560 df-f1o 6561 df-fv 6562 df-isom 6563 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-of 7690 df-om 7877 df-1st 8003 df-2nd 8004 df-supp 8175 df-frecs 8296 df-wrecs 8327 df-recs 8401 df-rdg 8440 df-1o 8496 df-2o 8497 df-oadd 8500 df-er 8734 df-map 8857 df-pm 8858 df-ixp 8927 df-en 8975 df-dom 8976 df-sdom 8977 df-fin 8978 df-fsupp 9406 df-fi 9454 df-sup 9485 df-inf 9486 df-oi 9553 df-dju 9944 df-card 9982 df-pnf 11300 df-mnf 11301 df-xr 11302 df-ltxr 11303 df-le 11304 df-sub 11496 df-neg 11497 df-div 11922 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-xnn0 12597 df-z 12611 df-dec 12730 df-uz 12875 df-q 12985 df-rp 13029 df-xneg 13146 df-xadd 13147 df-xmul 13148 df-ioo 13382 df-ioc 13383 df-ico 13384 df-icc 13385 df-fz 13539 df-fzo 13682 df-fl 13812 df-mod 13890 df-seq 14022 df-exp 14082 df-fac 14291 df-bc 14320 df-hash 14348 df-shft 15072 df-cj 15104 df-re 15105 df-im 15106 df-sqrt 15240 df-abs 15241 df-limsup 15473 df-clim 15490 df-rlim 15491 df-o1 15492 df-lo1 15493 df-sum 15691 df-ef 16069 df-e 16070 df-sin 16071 df-cos 16072 df-tan 16073 df-pi 16074 df-dvds 16257 df-gcd 16495 df-prm 16673 df-pc 16839 df-struct 17149 df-sets 17166 df-slot 17184 df-ndx 17196 df-base 17214 df-ress 17243 df-plusg 17279 df-mulr 17280 df-starv 17281 df-sca 17282 df-vsca 17283 df-ip 17284 df-tset 17285 df-ple 17286 df-ds 17288 df-unif 17289 df-hom 17290 df-cco 17291 df-rest 17437 df-topn 17438 df-0g 17456 df-gsum 17457 df-topgen 17458 df-pt 17459 df-prds 17462 df-xrs 17517 df-qtop 17522 df-imas 17523 df-xps 17525 df-mre 17599 df-mrc 17600 df-acs 17602 df-mgm 18633 df-sgrp 18712 df-mnd 18728 df-submnd 18774 df-mulg 19062 df-cntz 19311 df-cmn 19780 df-psmet 21335 df-xmet 21336 df-met 21337 df-bl 21338 df-mopn 21339 df-fbas 21340 df-fg 21341 df-cnfld 21344 df-top 22887 df-topon 22904 df-topsp 22926 df-bases 22940 df-cld 23014 df-ntr 23015 df-cls 23016 df-nei 23093 df-lp 23131 df-perf 23132 df-cn 23222 df-cnp 23223 df-haus 23310 df-cmp 23382 df-tx 23557 df-hmeo 23750 df-fil 23841 df-fm 23933 df-flim 23934 df-flf 23935 df-xms 24317 df-ms 24318 df-tms 24319 df-cncf 24889 df-limc 25886 df-dv 25887 df-ulm 26406 df-log 26583 df-cxp 26584 df-atan 26895 df-em 27021 df-cht 27125 df-vma 27126 df-chp 27127 df-ppi 27128

This theorem is referenced by: pntpbnd 27617

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