pntrsumbnd2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pntrsumbnd2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem pntrsumbnd2 27631

Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

**Assertion**
Ref	Expression
pntrsumbnd2	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Distinct variable groups: 𝑘,𝑎,𝑚,𝑛 𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅 Allowed substitution hint: 𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2 Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntrval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd 27630	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3		2rp 12998	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4		rpmulcl 13018	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
5	3, 4	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
6		oveq2 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
7	6	sumeq1d 15727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8	7	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9	8	breq1d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11		nnz 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		peano2zm 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	rspcdva 3582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
16	5	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpge0d 13041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18		sumeq1 15716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19		sum0 15748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
21	20	abs00bd 15318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
22	21	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
23	17, 22	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
24	23	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
25	24	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26		fzn0 13543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
27		fzfid 13986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28		elfznn 13558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
31	1	pntrf 27627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
32	31	ffvelcdmi 7064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
34	29	peano2nnd 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
35	29, 34	nnmulcld 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
36	33, 35	nndivred 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
37	28, 36	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41		fzfid 13986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42		elfznn 13558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43	42, 36	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	41, 43	fsumrecl 15761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
48	47	rpred 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49		le2add 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
50	40, 46, 48, 48, 49	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
51	48	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	51	2timesd 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
53	52	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54		fzfid 13986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56		elfzuz 13525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
57		eluznn 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
58	55, 56, 57	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
59	58, 36	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
60	54, 59	fsumrecl 15761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	55	nnred 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
63	62	ltm1d 12124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64		fzdisj 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
66	55	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67		ax-1cn 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		npcan 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
69	66, 67, 68	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
70	69, 55	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71		nnuz 12878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
72	70, 71	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
73	55	nnzd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
74	73, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
77	76, 67, 68	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
78	77	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ_≥‘𝑘))
79	78	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)))
80	79	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)))
81		peano2uzr 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
82	74, 80, 81	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
83		fzsplit2 13554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
84	72, 82, 83	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
85	69	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
86	85	uneq2d 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
87	84, 86	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
88	37	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
89	65, 87, 27, 88	fsumsplit 15768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	45, 61, 89	mvrladdd 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
91	90	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
92	39, 45	abs2dif2d 15488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
93	91, 92	eqbrtrrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
94	61	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
95	40, 46	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96		2re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
98	97, 48	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99		letr 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
100	94, 95, 98, 99	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
101	93, 100	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
102	53, 101	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
103	50, 102	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104	103	ancomsd 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
105	26, 104	sylan2b 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
106	25, 105	pm2.61dane 3044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107	106	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108	107	an4s 670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109	108	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110	109	ralimdva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111	110	impancom 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112	111	an32s 662	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
113	15, 112	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114	113	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116	115	2ralbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117	116	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
118	5, 114, 117	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119	118	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
120	2, 119	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 ∪ cun 3902 ∩ cin 3903 ∅c0 4285 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 < clt 11216 ≤ cle 11217 − cmin 11414 / cdiv 11844 ℕcn 12210 2c2 12272 ℤcz 12568 ℤ_≥cuz 12839 ℝ⁺crp 12993 ...cfz 13512 abscabs 15261 Σcsu 15713 ψcchp 27157

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-inf2 9596 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151 ax-addf 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-iin 4952 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8678 df-map 8810 df-pm 8811 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9308 df-fi 9357 df-sup 9388 df-inf 9389 df-oi 9458 df-dju 9859 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12482 df-xnn0 12555 df-z 12569 df-dec 12689 df-uz 12840 df-q 12950 df-rp 12994 df-xneg 13114 df-xadd 13115 df-xmul 13116 df-ioo 13353 df-ioc 13354 df-ico 13355 df-icc 13356 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287 df-bc 14316 df-hash 14344 df-shft 15080 df-cj 15126 df-re 15127 df-im 15128 df-sqrt 15262 df-abs 15263 df-limsup 15498 df-clim 15515 df-rlim 15516 df-o1 15517 df-lo1 15518 df-sum 15714 df-ef 16097 df-e 16098 df-sin 16099 df-cos 16100 df-tan 16101 df-pi 16102 df-dvds 16287 df-gcd 16529 df-prm 16706 df-pc 16873 df-struct 17183 df-sets 17200 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-ress 17267 df-plusg 17299 df-mulr 17300 df-starv 17301 df-sca 17302 df-vsca 17303 df-ip 17304 df-tset 17305 df-ple 17306 df-ds 17308 df-unif 17309 df-hom 17310 df-cco 17311 df-rest 17451 df-topn 17452 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-topgen 17472 df-pt 17473 df-prds 17476 df-xrs 17532 df-qtop 17537 df-imas 17538 df-xps 17540 df-mre 17614 df-mrc 17615 df-acs 17617 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-submnd 18818 df-mulg 19110 df-cntz 19357 df-cmn 19822 df-psmet 21416 df-xmet 21417 df-met 21418 df-bl 21419 df-mopn 21420 df-fbas 21421 df-fg 21422 df-cnfld 21425 df-top 22954 df-topon 22971 df-topsp 22993 df-bases 23006 df-cld 23079 df-ntr 23080 df-cls 23081 df-nei 23158 df-lp 23196 df-perf 23197 df-cn 23287 df-cnp 23288 df-haus 23375 df-cmp 23447 df-tx 23622 df-hmeo 23815 df-fil 23906 df-fm 23998 df-flim 23999 df-flf 24000 df-xms 24380 df-ms 24381 df-tms 24382 df-cncf 24940 df-limc 25928 df-dv 25929 df-ulm 26440 df-log 26621 df-cxp 26622 df-atan 26932 df-em 27057 df-cht 27161 df-vma 27162 df-chp 27163 df-ppi 27164

This theorem is referenced by: pntpbnd 27652

W3C validator