pntrsumbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntrsumbnd2 27485

Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

**Assertion**
Ref	Expression
pntrsumbnd2	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Distinct variable groups: 𝑘,𝑎,𝑚,𝑛 𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅 Allowed substitution hint: 𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2 Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntrval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd 27484	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3		2rp 12963	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4		rpmulcl 12983	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
6		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
7	6	sumeq1d 15673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8	7	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9	8	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11		nnz 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		peano2zm 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	rspcdva 3592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
16	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpge0d 13006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18		sumeq1 15662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19		sum0 15694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
21	20	abs00bd 15264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
22	21	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
23	17, 22	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
24	23	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
25	24	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26		fzn0 13506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
27		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
31	1	pntrf 27481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
32	31	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
34	29	peano2nnd 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
35	29, 34	nnmulcld 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
36	33, 35	nndivred 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
37	28, 36	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43	42, 36	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	41, 43	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
48	47	rpred 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49		le2add 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
50	40, 46, 48, 48, 49	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
51	48	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	51	2timesd 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
53	52	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56		elfzuz 13488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
57		eluznn 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
58	55, 56, 57	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
59	58, 36	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
60	54, 59	fsumrecl 15707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	55	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
63	62	ltm1d 12122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64		fzdisj 13519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
66	55	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		npcan 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
69	66, 67, 68	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
70	69, 55	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71		nnuz 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
72	70, 71	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
73	55	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
74	73, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
77	76, 67, 68	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
78	77	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ_≥‘𝑘))
79	78	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)))
80	79	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)))
81		peano2uzr 12869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
82	74, 80, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
83		fzsplit2 13517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
84	72, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
85	69	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
86	85	uneq2d 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
87	84, 86	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
88	37	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
89	65, 87, 27, 88	fsumsplit 15714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	45, 61, 89	mvrladdd 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
91	90	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
92	39, 45	abs2dif2d 15434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
93	91, 92	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
94	61	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
95	40, 46	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
98	97, 48	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99		letr 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
100	94, 95, 98, 99	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
101	93, 100	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
102	53, 101	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
103	50, 102	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104	103	ancomsd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
105	26, 104	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
106	25, 105	pm2.61dane 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107	106	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108	107	an4s 660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109	108	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110	109	ralimdva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111	110	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112	111	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
113	15, 112	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114	113	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116	115	2ralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117	116	rspcev 3591	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
118	5, 114, 117	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119	118	rexlimiva 3127	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
120	2, 119	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∀wral 3045 ∃wrex 3054 ∪ cun 3915 ∩ cin 3916 ∅c0 4299 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ℝ⁺crp 12958 ...cfz 13475 abscabs 15207 Σcsu 15659 ψcchp 27010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-dju 9861 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15444 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-o1 15463 df-lo1 15464 df-sum 15660 df-ef 16040 df-e 16041 df-sin 16042 df-cos 16043 df-tan 16044 df-pi 16045 df-dvds 16230 df-gcd 16472 df-prm 16649 df-pc 16815 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-cmp 23281 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-limc 25774 df-dv 25775 df-ulm 26293 df-log 26472 df-cxp 26473 df-atan 26784 df-em 26910 df-cht 27014 df-vma 27015 df-chp 27016 df-ppi 27017

This theorem is referenced by: pntpbnd 27506

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