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Theorem pntrsumbnd2 27596
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑚,𝑛   𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrsumbnd 27595 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3 2rp 13033 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
4 rpmulcl 13051 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
53, 4mpan 688 . . . 4 (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
6 oveq2 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
76sumeq1d 15705 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
87fveq2d 6905 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
98breq1d 5163 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11 nnz 12631 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1211adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 peano2zm 12657 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
159, 10, 14rspcdva 3609 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
165ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
1716rpge0d 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18 sumeq1 15693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19 sum0 15725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
2018, 19eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
2120abs00bd 15296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
2221breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
2317, 22syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
2423imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26 fzn0 13569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))
27 fzfid 13993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28 elfznn 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3029nnrpd 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
311pntrf 27592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3231ffvelcdmi 7097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3429peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
3529, 34nnmulcld 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
3633, 35nndivred 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3728, 36sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3938recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4039abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41 fzfid 13993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42 elfznn 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4342, 36sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4441, 43fsumrecl 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4544recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4645abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
4847rpred 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49 le2add 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5040, 46, 48, 48, 49syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5148recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52512timesd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
5352breq2d 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54 fzfid 13993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56 elfzuz 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑘))
57 eluznn 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5855, 56, 57syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5958, 36syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6054, 59fsumrecl 15738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6160recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
6255nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6362ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64 fzdisj 13582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6655nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67 ax-1cn 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℂ
68 npcan 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
6966, 67, 68sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
7069, 55eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71 nnuz 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ = (ℤ‘1)
7270, 71eleqtrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
7355nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7675nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
7776, 67, 68sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
7877fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ𝑘))
7978eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
8079biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)))
81 peano2uzr 12939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
8274, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
83 fzsplit2 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
8472, 82, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
8569oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
8685uneq2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8784, 86eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8837recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
8965, 87, 27, 88fsumsplit 15745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9045, 61, 89mvrladdd 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9190fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9239, 45abs2dif2d 15463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9391, 92eqbrtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9461abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
9540, 46readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
9897, 48remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99 letr 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10094, 95, 98, 99syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10193, 100mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10253, 101sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10350, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104103ancomsd 464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10526, 104sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10625, 105pm2.61dane 3019 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107106imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108107an4s 658 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109108expr 455 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110109ralimdva 3157 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111110impancom 450 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112111an32s 650 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
11315, 112mpd 15 . . . . 5 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114113ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115 breq2 5157 . . . . . 6 (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
1161152ralbidv 3209 . . . . 5 (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117116rspcev 3608 . . . 4 (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1185, 114, 117syl2an2r 683 . . 3 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119118rexlimiva 3137 . 2 (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1202, 119ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  cun 3945  cin 3946  c0 4325   class class class wbr 5153  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  ...cfz 13538  abscabs 15239  Σcsu 15690  ψcchp 27121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-o1 15492  df-lo1 15493  df-sum 15691  df-ef 16069  df-e 16070  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-prm 16673  df-pc 16839  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-ulm 26406  df-log 26583  df-cxp 26584  df-atan 26895  df-em 27021  df-cht 27125  df-vma 27126  df-chp 27127  df-ppi 27128
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