pntrsumbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntrsumbnd2 27050

Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

**Assertion**
Ref	Expression
pntrsumbnd2	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Distinct variable groups: 𝑘,𝑎,𝑚,𝑛 𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅 Allowed substitution hint: 𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2 Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntrval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd 27049	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3		2rp 12975	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4		rpmulcl 12993	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
5	3, 4	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
6		oveq2 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
7	6	sumeq1d 15643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8	7	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9	8	breq1d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11		nnz 12575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		peano2zm 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	rspcdva 3613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
16	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpge0d 13016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18		sumeq1 15631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19		sum0 15663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
21	20	abs00bd 15234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
22	21	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
23	17, 22	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
24	23	imp 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
25	24	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26		fzn0 13511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
27		fzfid 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
31	1	pntrf 27046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
32	31	ffvelcdmi 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
34	29	peano2nnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
35	29, 34	nnmulcld 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
36	33, 35	nndivred 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
37	28, 36	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41		fzfid 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43	42, 36	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	41, 43	fsumrecl 15676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
48	47	rpred 13012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49		le2add 11692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
50	40, 46, 48, 48, 49	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
51	48	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	51	2timesd 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
53	52	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54		fzfid 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56		elfzuz 13493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
57		eluznn 12898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
58	55, 56, 57	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
59	58, 36	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
60	54, 59	fsumrecl 15676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	55	nnred 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
63	62	ltm1d 12142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64		fzdisj 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
66	55	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		npcan 11465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
69	66, 67, 68	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
70	69, 55	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71		nnuz 12861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
72	70, 71	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
73	55	nnzd 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
74	73, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
77	76, 67, 68	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
78	77	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ_≥‘𝑘))
79	78	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)))
80	79	biimpar 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)))
81		peano2uzr 12883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
82	74, 80, 81	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
83		fzsplit2 13522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
84	72, 82, 83	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
85	69	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
86	85	uneq2d 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
87	84, 86	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
88	37	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
89	65, 87, 27, 88	fsumsplit 15683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	45, 61, 89	mvrladdd 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
91	90	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
92	39, 45	abs2dif2d 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
93	91, 92	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
94	61	abscld 15379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
95	40, 46	readdcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96		2re 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
98	97, 48	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99		letr 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
100	94, 95, 98, 99	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
101	93, 100	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
102	53, 101	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
103	50, 102	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104	103	ancomsd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
105	26, 104	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
106	25, 105	pm2.61dane 3030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107	106	imp 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108	107	an4s 659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109	108	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110	109	ralimdva 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111	110	impancom 453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112	111	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
113	15, 112	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114	113	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116	115	2ralbidv 3219	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117	116	rspcev 3612	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
118	5, 114, 117	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119	118	rexlimiva 3148	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
120	2, 119	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 ∪ cun 3945 ∩ cin 3946 ∅c0 4321 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ‘cfv 6540 (class class class)co 7404 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 / cdiv 11867 ℕcn 12208 2c2 12263 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ℝ⁺crp 12970 ...cfz 13480 abscabs 15177 Σcsu 15628 ψcchp 26577

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7720 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-of 7665 df-om 7851 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8142 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-2o 8462 df-oadd 8465 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15411 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-o1 15430 df-lo1 15431 df-sum 15629 df-ef 16007 df-e 16008 df-sin 16009 df-cos 16010 df-tan 16011 df-pi 16012 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-prm 16605 df-pc 16766 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19643 df-psmet 20921 df-xmet 20922 df-met 20923 df-bl 20924 df-mopn 20925 df-fbas 20926 df-fg 20927 df-cnfld 20930 df-top 22378 df-topon 22395 df-topsp 22417 df-bases 22431 df-cld 22505 df-ntr 22506 df-cls 22507 df-nei 22584 df-lp 22622 df-perf 22623 df-cn 22713 df-cnp 22714 df-haus 22801 df-cmp 22873 df-tx 23048 df-hmeo 23241 df-fil 23332 df-fm 23424 df-flim 23425 df-flf 23426 df-xms 23808 df-ms 23809 df-tms 23810 df-cncf 24376 df-limc 25365 df-dv 25366 df-ulm 25871 df-log 26047 df-cxp 26048 df-atan 26352 df-em 26477 df-cht 26581 df-vma 26582 df-chp 26583 df-ppi 26584

This theorem is referenced by: pntpbnd 27071

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