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Theorem pntrsumbnd2 26130
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑚,𝑛   𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrsumbnd 26129 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3 2rp 12373 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
4 rpmulcl 12391 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
53, 4mpan 688 . . . 4 (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
6 oveq2 7141 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
76sumeq1d 15038 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
87fveq2d 6650 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
98breq1d 5052 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11 nnz 11983 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1211adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 peano2zm 12004 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
159, 10, 14rspcdva 3604 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
165ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
1716rpge0d 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18 sumeq1 15025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19 sum0 15058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
2018, 19syl6eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
2120abs00bd 14631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
2221breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
2317, 22syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
2423imp 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26 fzn0 12905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))
27 fzfid 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28 elfznn 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3029nnrpd 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
311pntrf 26126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3231ffvelrni 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3429peano2nnd 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
3529, 34nnmulcld 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
3633, 35nndivred 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3728, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3938recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4039abscld 14776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41 fzfid 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42 elfznn 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4342, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4441, 43fsumrecl 15071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4544recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4645abscld 14776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
4847rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49 le2add 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5040, 46, 48, 48, 49syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5148recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52512timesd 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
5352breq2d 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54 fzfid 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56 elfzuz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑘))
57 eluznn 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5855, 56, 57syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5958, 36syldan 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6054, 59fsumrecl 15071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6160recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
6255nnred 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6362ltm1d 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64 fzdisj 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6655nncnd 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67 ax-1cn 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℂ
68 npcan 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
6966, 67, 68sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
7069, 55eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71 nnuz 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ = (ℤ‘1)
7270, 71eleqtrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
7355nnzd 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7675nncnd 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
7776, 67, 68sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
7877fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ𝑘))
7978eleq2d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
8079biimpar 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)))
81 peano2uzr 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
8274, 80, 81syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
83 fzsplit2 12916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
8472, 82, 83syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
8569oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
8685uneq2d 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8784, 86eqtrd 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8837recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
8965, 87, 27, 88fsumsplit 15077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9045, 61, 89mvrladdd 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9190fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9239, 45abs2dif2d 14798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9391, 92eqbrtrrd 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9461abscld 14776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
9540, 46readdcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96 2re 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
9897, 48remulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99 letr 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10094, 95, 98, 99syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10193, 100mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10253, 101sylbird 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10350, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104103ancomsd 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10526, 104sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10625, 105pm2.61dane 3093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107106imp 409 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108107an4s 658 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109108expr 459 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110109ralimdva 3164 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111110impancom 454 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112111an32s 650 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
11315, 112mpd 15 . . . . 5 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114113ralrimiva 3169 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115 breq2 5046 . . . . . 6 (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
1161152ralbidv 3186 . . . . 5 (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117116rspcev 3602 . . . 4 (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1185, 114, 117syl2an2r 683 . . 3 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119118rexlimiva 3268 . 2 (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1202, 119ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  cun 3911  cin 3912  c0 4269   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520   < clt 10653  cle 10654  cmin 10848   / cdiv 11275  cn 11616  2c2 11671  cz 11960  cuz 12222  +crp 12368  ...cfz 12876  abscabs 14573  Σcsu 15022  ψcchp 25657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-o1 14827  df-lo1 14828  df-sum 15023  df-ef 15401  df-e 15402  df-sin 15403  df-cos 15404  df-tan 15405  df-pi 15406  df-dvds 15588  df-gcd 15822  df-prm 15994  df-pc 16152  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-ulm 24951  df-log 25127  df-cxp 25128  df-atan 25432  df-em 25557  df-cht 25661  df-vma 25662  df-chp 25663  df-ppi 25664
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