pntrsumbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntrsumbnd2 27906

Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

**Assertion**
Ref	Expression
pntrsumbnd2	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Distinct variable groups: 𝑘,𝑎,𝑚,𝑛 𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅 Allowed substitution hint: 𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2 Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntrval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd 27905	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3		2rp 13135	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4		rpmulcl 13155	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
5	3, 4	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ⁺ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
6		oveq2 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
7	6	sumeq1d 15879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8	7	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9	8	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
10		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
11		nnz 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		peano2zm 12749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	rspcdva 3580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
16	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺)
17	16	rpge0d 13178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
18		sumeq1 15868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19		sum0 15899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
21	20	abs00bd 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
22	21	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
23	17, 22	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
24	23	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
25	24	a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
26		fzn0 13681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
27		fzfid 14126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
28		elfznn 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
31	1	pntrf 27902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
32	31	ffvelcdmi 7091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
34	29	peano2nnd 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
35	29, 34	nnmulcld 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
36	33, 35	nndivred 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
37	28, 36	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
41		fzfid 14126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
42		elfznn 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43	42, 36	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	41, 43	fsumrecl 15912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
47		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
48	47	rpred 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
49		le2add 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
50	40, 46, 48, 48, 49	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
51	48	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	51	2timesd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
53	52	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
54		fzfid 14126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
55		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56		elfzuz 13662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
57		eluznn 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
58	55, 56, 57	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
59	58, 36	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
60	54, 59	fsumrecl 15912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	55	nnred 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
63	62	ltm1d 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
64		fzdisj 13695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
66	55	nncnd 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67		ax-1cn 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		npcan 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
69	66, 67, 68	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
70	69, 55	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
71		nnuz 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
72	70, 71	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
73	55	nnzd 12729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
74	73, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
75		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
77	76, 67, 68	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
78	77	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ_≥‘𝑘))
79	78	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)))
80	79	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1)))
81		peano2uzr 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
82	74, 80, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1)))
83		fzsplit2 13693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
84	72, 82, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
85	69	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
86	85	uneq2d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
87	84, 86	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
88	37	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
89	65, 87, 27, 88	fsumsplit 15919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	45, 61, 89	mvrladdd 11738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
91	90	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
92	39, 45	abs2dif2d 15640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
93	91, 92	eqbrtrrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
94	61	abscld 15618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
95	40, 46	readdcld 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
96		2re 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
98	97, 48	remulcld 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
99		letr 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
100	94, 95, 98, 99	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
101	93, 100	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
102	53, 101	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
103	50, 102	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
104	103	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
105	26, 104	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
106	25, 105	pm2.61dane 3045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
107	106	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
108	107	an4s 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
109	108	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
110	109	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111	110	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
112	111	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
113	15, 112	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
114	113	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
115		breq2 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116	115	2ralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
117	116	rspcev 3579	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
118	5, 114, 117	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
119	118	rexlimiva 3158	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
120	2, 119	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2958 ∀wral 3079 ∃wrex 3089 ∩ cin 4091 ∪ cun 4151 ∅c0 4280 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 ‘cfv 6546 (class class class)co 7427 ℂcc 11208 ℝcr 11209 0cc0 11210 1c1 11211 + caddc 11213 · cmul 11215 < clt 11353 ≤ cle 11354 − cmin 11551 / cdiv 11983 ℕcn 12345 2c2 12407 ℤcz 12703 ℤ_≥cuz 12975 ℝ⁺crp 13130 ...cfz 13649 abscabs 15413 Σcsu 15865 ψcchp 27432

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1944 ax-6 2001 ax-7 2042 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2196 ax-12 2215 ax-ext 2735 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5262 ax-pow 5330 ax-pr 5394 ax-un 7758 ax-inf2 9652 ax-cnex 11266 ax-resscn 11267 ax-1cn 11268 ax-icn 11269 ax-addcl 11270 ax-addrcl 11271 ax-mulcl 11272 ax-mulrcl 11273 ax-mulcom 11274 ax-addass 11275 ax-mulass 11276 ax-distr 11277 ax-i2m1 11278 ax-1ne0 11279 ax-1rid 11280 ax-rnegex 11281 ax-rrecex 11282 ax-cnre 11283 ax-pre-lttri 11284 ax-pre-lttrn 11285 ax-pre-ltadd 11286 ax-pre-mulgt0 11287 ax-pre-sup 11288 ax-addf 11289

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2101 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3455 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-ss 3900 df-pss 4016 df-dif 4049 df-in 4093 df-un 4153 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4838 df-uni 4870 df-int 4910 df-iun 4955 df-iin 4956 df-br 5106 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5549 df-eprel 5554 df-po 5562 df-so 5563 df-fr 5607 df-se 5608 df-we 5609 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6310 df-ord 6371 df-on 6372 df-lim 6373 df-suc 6374 df-iota 6500 df-fun 6548 df-fn 6549 df-f 6550 df-f1 6551 df-fo 6552 df-f1o 6553 df-fv 6554 df-isom 6555 df-riota 7384 df-ov 7430 df-oprab 7431 df-mpo 7432 df-of 7700 df-om 7885 df-1st 8008 df-2nd 8009 df-supp 8188 df-frecs 8310 df-wrecs 8341 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8487 df-2o 8488 df-oadd 8491 df-er 8728 df-map 8860 df-pm 8861 df-ixp 8937 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-fsupp 9365 df-fi 9413 df-sup 9444 df-inf 9445 df-oi 9514 df-dju 9992 df-card 10030 df-pnf 11355 df-mnf 11356 df-xr 11357 df-ltxr 11358 df-le 11359 df-sub 11553 df-neg 11554 df-div 11984 df-nn 12346 df-2 12415 df-3 12416 df-4 12417 df-5 12418 df-6 12419 df-7 12420 df-8 12421 df-9 12422 df-n0 12617 df-xnn0 12690 df-z 12704 df-dec 12825 df-uz 12976 df-q 13086 df-rp 13131 df-xneg 13251 df-xadd 13252 df-xmul 13253 df-ioo 13490 df-ioc 13491 df-ico 13492 df-icc 13493 df-fz 13650 df-fzo 13799 df-fl 13942 df-mod 14020 df-seq 14155 df-exp 14215 df-fac 14428 df-bc 14457 df-hash 14485 df-shft 15232 df-cj 15278 df-re 15279 df-im 15280 df-sqrt 15414 df-abs 15415 df-limsup 15650 df-clim 15667 df-rlim 15668 df-o1 15669 df-lo1 15670 df-sum 15866 df-ef 16245 df-e 16246 df-sin 16247 df-cos 16248 df-tan 16249 df-pi 16250 df-dvds 16435 df-gcd 16677 df-prm 16859 df-pc 17027 df-struct 17337 df-sets 17354 df-slot 17372 df-ndx 17384 df-base 17400 df-ress 17421 df-plusg 17453 df-mulr 17454 df-starv 17455 df-sca 17456 df-vsca 17457 df-ip 17458 df-tset 17459 df-ple 17460 df-ds 17462 df-unif 17463 df-hom 17464 df-cco 17465 df-rest 17605 df-topn 17606 df-0g 17624 df-gsum 17625 df-topgen 17626 df-pt 17627 df-prds 17630 df-xrs 17686 df-qtop 17691 df-imas 17692 df-xps 17694 df-mre 17768 df-mrc 17769 df-acs 17771 df-mgm 18828 df-sgrp 18920 df-mnd 18936 df-submnd 18991 df-mulg 19290 df-cntz 19543 df-cmn 20008 df-psmet 21682 df-xmet 21683 df-met 21684 df-bl 21685 df-mopn 21686 df-fbas 21687 df-fg 21688 df-cnfld 21691 df-top 23224 df-topon 23241 df-topsp 23263 df-bases 23276 df-cld 23349 df-ntr 23350 df-cls 23351 df-nei 23428 df-lp 23466 df-perf 23467 df-cn 23557 df-cnp 23558 df-haus 23645 df-cmp 23717 df-tx 23893 df-hmeo 24086 df-fil 24177 df-fm 24269 df-flim 24270 df-flf 24271 df-xms 24651 df-ms 24652 df-tms 24653 df-cncf 25211 df-limc 26198 df-dv 26199 df-ulm 26716 df-log 26896 df-cxp 26897 df-atan 27207 df-em 27332 df-cht 27436 df-vma 27437 df-chp 27438 df-ppi 27439

This theorem is used by: pntpbnd 27927

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