MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi 22132
Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcollpw.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw.m = ( ·𝑠𝐶)
pmatcollpw.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
pmatcollpw.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpw3.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpw3.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ,𝑛   𝐵,𝑠,𝑛   𝐶,𝑛   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑅,𝑠   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓,𝑛   𝐷,𝑓   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑋   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑛,𝑠)   𝐶(𝑠)   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑛,𝑠)   (𝑠)   (𝑛,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pmatcollpw.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pmatcollpw.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pmatcollpw.m . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
5 pmatcollpw.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6 pmatcollpw.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
7 pmatcollpw.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmatcollpwfi 22129 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
9 elnn0uz 12807 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (ℤ‘0))
10 fzn0 13454 . . . . . 6 ((0...𝑠) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
119, 10sylbb2 237 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ0 → (0...𝑠) ≠ ∅)
12 fz0ssnn0 13535 . . . . 5 (0...𝑠) ⊆ ℕ0
1311, 12jctil 520 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ0 → ((0...𝑠) ⊆ ℕ0 ∧ (0...𝑠) ≠ ∅))
14 pmatcollpw3.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
15 pmatcollpw3.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐴)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15pmatcollpw3lem 22130 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ ((0...𝑠) ⊆ ℕ0 ∧ (0...𝑠) ≠ ∅)) → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
1713, 16sylan2 593 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
1817reximdva 3165 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
198, 18mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  wss 3910  c0 4282  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  Fincfn 8882  0cc0 11050  0cn0 12412  cuz 12762  ...cfz 13423  Basecbs 17082   ·𝑠 cvsca 17136   Σg cgsu 17321  .gcmg 18870  mulGrpcmgp 19894  CRingccrg 19963  var1cv1 21545  Poly1cpl1 21546   Mat cmat 21752   matToPolyMat cmat2pmat 22051   decompPMat cdecpmat 22109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-cur 8197  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-sup 9377  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-seq 13906  df-hash 14230  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-prds 17328  df-pws 17330  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-mhm 18600  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-mulg 18871  df-subg 18923  df-ghm 19004  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-srg 19916  df-ring 19964  df-cring 19965  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-dsmm 21136  df-frlm 21151  df-assa 21257  df-ascl 21259  df-psr 21309  df-mvr 21310  df-mpl 21311  df-opsr 21313  df-psr1 21549  df-vr1 21550  df-ply1 21551  df-coe1 21552  df-mamu 21731  df-mat 21753  df-mat2pmat 22054  df-decpmat 22110
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1  22135
  Copyright terms: Public domain W3C validator