MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi 21379
Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcollpw.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw.m = ( ·𝑠𝐶)
pmatcollpw.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
pmatcollpw.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpw3.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpw3.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ,𝑛   𝐵,𝑠,𝑛   𝐶,𝑛   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑅,𝑠   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓,𝑛   𝐷,𝑓   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑋   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑛,𝑠)   𝐶(𝑠)   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑛,𝑠)   (𝑠)   (𝑛,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pmatcollpw.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pmatcollpw.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pmatcollpw.m . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
5 pmatcollpw.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6 pmatcollpw.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
7 pmatcollpw.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pmatcollpwfi 21376 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
9 elnn0uz 12269 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (ℤ‘0))
10 fzn0 12914 . . . . . 6 ((0...𝑠) ≠ ∅ ↔ 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
119, 10sylbb2 241 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ0 → (0...𝑠) ≠ ∅)
12 fz0ssnn0 12995 . . . . 5 (0...𝑠) ⊆ ℕ0
1311, 12jctil 523 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ0 → ((0...𝑠) ⊆ ℕ0 ∧ (0...𝑠) ≠ ∅))
14 pmatcollpw3.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
15 pmatcollpw3.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐴)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15pmatcollpw3lem 21377 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ ((0...𝑠) ⊆ ℕ0 ∧ (0...𝑠) ≠ ∅)) → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
1713, 16sylan2 595 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
1817reximdva 3266 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
198, 18mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133  wss 3918  c0 4274  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  m cmap 8389  Fincfn 8492  0cc0 10522  0cn0 11883  cuz 12229  ...cfz 12883  Basecbs 16472   ·𝑠 cvsca 16558   Σg cgsu 16703  .gcmg 18213  mulGrpcmgp 19228  CRingccrg 19287  var1cv1 20330  Poly1cpl1 20331   Mat cmat 21002   matToPolyMat cmat2pmat 21298   decompPMat cdecpmat 21356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-ofr 7393  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-cur 7916  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13685  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-hom 16578  df-cco 16579  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-prds 16710  df-pws 16712  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-srg 19245  df-ring 19288  df-cring 19289  df-subrg 19519  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-assa 20071  df-ascl 20073  df-psr 20122  df-mvr 20123  df-mpl 20124  df-opsr 20126  df-psr1 20334  df-vr1 20335  df-ply1 20336  df-coe1 20337  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-mamu 20981  df-mat 21003  df-mat2pmat 21301  df-decpmat 21357
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1  21382
  Copyright terms: Public domain W3C validator