MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkn0 29133
Description: The sequence of vertices of a walk cannot be empty, i.e. a walk always consists of at least one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlkn0 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 β‰  βˆ…)
Proof of Theorem wlkn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wlkp 29128 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
3 fdm 6726 . . . . 5 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ dom 𝑃 = (0...(β™―β€˜πΉ)))
43eqcomd 2738 . . . 4 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = dom 𝑃)
52, 4syl 17 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = dom 𝑃)
6 wlkcl 29127 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 elnn0uz 12871 . . . . 5 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8 fzn0 13519 . . . . 5 ((0...(β™―β€˜πΉ)) β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
97, 8sylbb2 237 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) β‰  βˆ…)
106, 9syl 17 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) β‰  βˆ…)
115, 10eqnetrrd 3009 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ dom 𝑃 β‰  βˆ…)
12 frel 6722 . . . 4 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ Rel 𝑃)
132, 12syl 17 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Rel 𝑃)
14 reldm0 5927 . . . 4 (Rel 𝑃 β†’ (𝑃 = βˆ… ↔ dom 𝑃 = βˆ…))
1514necon3bid 2985 . . 3 (Rel 𝑃 β†’ (𝑃 β‰  βˆ… ↔ dom 𝑃 β‰  βˆ…))
1613, 15syl 17 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝑃 β‰  βˆ… ↔ dom 𝑃 β‰  βˆ…))
1711, 16mpbird 256 1 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28511  Walkscwlks 29108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wlks 29111
This theorem is referenced by:  wlkvv  29139  g0wlk0  29164  wlkiswwlks1  29376  wlknewwlksn  29396
  Copyright terms: Public domain W3C validator