Theorem wlkn0 26925

Description: The sequence of vertices of a walk cannot be empty, i.e. a walk always consists of at least one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkn0	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)

Proof of Theorem wlkn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 26921	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		fdm 6290	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
4	3	eqcomd 2831	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (0...(♯‘𝐹)) = dom 𝑃)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = dom 𝑃)
6		wlkcl 26920	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		elnn0uz 12014	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
8		fzn0 12655	. . . . 5 ⊢ ((0...(♯‘𝐹)) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9	7, 8	sylbb2 230	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0...(♯‘𝐹)) ≠ ∅)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) ≠ ∅)
11	5, 10	eqnetrrd 3067	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → dom 𝑃 ≠ ∅)
12		frel 6287	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Rel 𝑃)
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Rel 𝑃)
14		reldm0 5579	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑃 → (𝑃 = ∅ ↔ dom 𝑃 = ∅))
15	14	necon3bid 3043	. . 3 ⊢ (Rel 𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ ↔ dom 𝑃 ≠ ∅))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ ↔ dom 𝑃 ≠ ∅))
17	11, 16	mpbird 249	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4146   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Rel wrel 5351  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  ℕ₀cn0 11625  ℤ_≥cuz 11975  ...cfz 12626  ♯chash 13417  Vtxcvtx 26301  Walkscwlks 26901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-wlks 26904

This theorem is referenced by:  wlkvv  26931  g0wlk0  26956  wlkiswwlks1  27173  wlknewwlksn  27194