Theorem wlkn0 29507

Description: The sequence of vertices of a walk cannot be empty, i.e. a walk always consists of at least one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkn0	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)

Proof of Theorem wlkn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 29502	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		fdm 6732	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
4	3	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (0...(♯‘𝐹)) = dom 𝑃)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = dom 𝑃)
6		wlkcl 29501	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		elnn0uz 12900	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
8		fzn0 13550	. . . . 5 ⊢ ((0...(♯‘𝐹)) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9	7, 8	sylbb2 237	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0...(♯‘𝐹)) ≠ ∅)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) ≠ ∅)
11	5, 10	eqnetrrd 2998	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → dom 𝑃 ≠ ∅)
12		frel 6728	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → Rel 𝑃)
13	2, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Rel 𝑃)
14		reldm0 5930	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑃 → (𝑃 = ∅ ↔ dom 𝑃 = ∅))
15	14	necon3bid 2974	. . 3 ⊢ (Rel 𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ ↔ dom 𝑃 ≠ ∅))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ≠ ∅ ↔ dom 𝑃 ≠ ∅))
17	11, 16	mpbird 256	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12855  ...cfz 13519  ♯chash 14325  Vtxcvtx 28881  Walkscwlks 29482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-wlks 29485

This theorem is referenced by:  wlkvv  29513  g0wlk0  29538  wlkiswwlks1  29750  wlknewwlksn  29770