Theorem ffz0iswrd 14589

Description: A sequence with zero-based indices is a word. (Contributed by AV, 31-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2018.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ffz0iswrd	⊢ (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem ffz0iswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval3 13785	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0...𝐿) = (0..^(𝐿 + 1)))
2	1	feq2d 6733	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(𝐿 + 1))⟶𝑆))
3		iswrdi 14566	. . 3 ⊢ (𝑊:(0..^(𝐿 + 1))⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
4	2, 3	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆))
5		fzn0 13598	. . . . . . 7 ⊢ ((0...𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		elnn0uz 12948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
7	5, 6	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12665	. . . . 5 ⊢ ((0...𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℤ)
9	8	necon1bi 2975	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℤ → (0...𝐿) = ∅)
10	9	feq2d 6733	. . 3 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:∅⟶𝑆))
11		iswrddm0 14586	. . 3 ⊢ (𝑊:∅⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
12	10, 11	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆))
13	4, 12	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  Word cword 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-word 14563

This theorem is referenced by:  wlkpwrd  29653  wlkiswwlks1  29900  wlknewwlksn  29920  clwlkclwwlklem2  30032  frlmfzwrd  42456