Theorem ffz0iswrd 14494

Description: A sequence with zero-based indices is a word. (Contributed by AV, 31-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2018.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ffz0iswrd	⊢ (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem ffz0iswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval3 13680	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0...𝐿) = (0..^(𝐿 + 1)))
2	1	feq2d 6639	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(𝐿 + 1))⟶𝑆))
3		iswrdi 14470	. . 3 ⊢ (𝑊:(0..^(𝐿 + 1))⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
4	2, 3	biimtrdi 254	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆))
5		fzn0 13483	. . . . . . 7 ⊢ ((0...𝐿) ≠ ∅ ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
6		elnn0uz 12820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
7	5, 6	sylbb2 239	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12540	. . . . 5 ⊢ ((0...𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℤ)
9	8	necon1bi 2962	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℤ → (0...𝐿) = ∅)
10	9	feq2d 6639	. . 3 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:∅⟶𝑆))
11		iswrddm0 14491	. . 3 ⊢ (𝑊:∅⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
12	10, 11	biimtrdi 254	. 2 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℤ → (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆))
13	4, 12	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  Word cword 14466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-word 14467

This theorem is referenced by:  wlkpwrd  29704  wlkiswwlks1  29953  wlknewwlksn  29973  clwlkclwwlklem2  30088  frlmfzwrd  42991