Theorem fzfi 14023

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9108	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2832	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13598	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9294	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4259	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 4043	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 14022	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7321	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 14020	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9252	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3031	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702  Oncon0 6395  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  reccrdg 8465   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  fzfid  14024  fzofi  14025  fsequb  14026  fsequb2  14027  fseqsupcl  14028  ssnn0fi  14036  seqf1o  14094  isfinite4  14411  hashdom  14428  fzsdom2  14477  fnfz0hashnn0  14497  seqcoll2  14514  caubnd  15407  limsupgre  15527  summolem3  15762  summolem2  15764  zsum  15766  prodmolem3  15981  prodmolem2  15983  zprod  15985  risefallfac  16072  bpolylem  16096  phicl2  16815  phibnd  16818  hashdvds  16822  phiprmpw  16823  eulerth  16830  phisum  16837  pcfac  16946  prmreclem2  16964  prmreclem3  16965  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  prmrec  16969  1arith  16974  vdwlem6  17033  vdwlem10  17037  vdwlem12  17039  prmdvdsprmo  17089  prmgaplcmlem1  17098  prmgaplcm  17107  isstruct2  17196  gsumval3lem1  19947  gsumval3lem2  19948  gsumval3  19949  coe1mul2  22293  ehleudis  25471  ehleudisval  25472  ovoliunlem2  25557  uniioombllem6  25642  itg0  25835  itgz  25836  coemullem  26309  aannenlem1  26388  aannenlem2  26389  birthdaylem1  27012  birthdaylem2  27013  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  ftalem5  27138  ppifi  27167  prmdvdsfi  27168  chtdif  27219  ppidif  27224  chp1  27228  ppiltx  27238  prmorcht  27239  mumul  27242  sqff1o  27243  ppiub  27266  pclogsum  27277  logexprlim  27287  gausslemma2dlem1  27428  gausslemma2dlem5  27433  gausslemma2dlem6  27434  lgseisenlem2  27438  axlowdimlem16  28990  konigsberglem5  30288  pmtrto1cl  33092  psgnfzto1stlem  33093  fzto1st  33096  psgnfzto1st  33098  smatcl  33748  1smat1  33750  esumpcvgval  34042  esumcvg  34050  carsggect  34283  carsgclctunlem2  34284  oddpwdc  34319  eulerpartlemb  34333  ballotlem1  34451  ballotlem2  34453  ballotlemfelz  34455  ballotlemfp1  34456  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlemfmpn  34459  ballotlemiex  34466  ballotlemsup  34469  ballotlemfg  34490  ballotlemfrc  34491  ballotlemfrceq  34493  ballotth  34502  plymulx0  34524  fsum2dsub  34584  reprfi2  34600  breprexpnat  34611  hgt750lemb  34633  hgt750leme  34635  pthhashvtx  35095  subfacf  35143  subfacp1lem1  35147  subfacp1lem3  35150  subfacp1lem5  35152  subfacp1lem6  35153  erdszelem2  35160  erdszelem10  35168  cvmliftlem15  35266  bcprod  35700  ptrecube  37580  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  mblfinlem2  37618  volsupnfl  37625  itg2addnclem2  37632  nnubfi  37710  nninfnub  37711  cntotbnd  37756  lcmfunnnd  41969  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem6  41991  lcmineqlem15  42000  lcmineqlem16  42001  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  lcmineqlem21  42006  lcmineqlem22  42007  sticksstones17  42120  fisdomnn  42239  fz1sumconst  42297  eldioph2lem1  42716  eldioph2lem2  42717  eldioph2  42718  pellexlem5  42789  pellex  42791  jm2.22  42952  jm2.23  42953  hbt  43087  rp-isfinite6  43480  fzisoeu  45215  sumnnodd  45551  stoweidlem37  45958  stoweidlem44  45965  stoweidlem59  45980  fourierdlem37  46065  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  etransclem16  46171  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem33  46188  etransclem35  46190  etransclem44  46199  etransclem45  46200  sge0reuz  46368  hoidmvlelem2  46517  aacllem  48895