Theorem fzfi 13909

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8993	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2825	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13468	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9155	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4192	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13908	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7243	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13906	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9124	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3016	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633   ↾ cres 5636  Oncon0 6327  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ωcom 7820  reccrdg 8352   ≈ cen 8894  Fincfn 8897  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   − cmin 11378  ℕ₀cn0 12415  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fzfid  13910  fzofi  13911  fsequb  13912  fsequb2  13913  fseqsupcl  13914  ssnn0fi  13922  seqf1o  13980  isfinite4  14299  hashdom  14316  fzsdom2  14365  fnfz0hashnn0  14385  seqcoll2  14402  caubnd  15296  limsupgre  15418  summolem3  15651  summolem2  15653  zsum  15655  prodmolem3  15870  prodmolem2  15872  zprod  15874  risefallfac  15961  bpolylem  15985  phicl2  16709  phibnd  16712  hashdvds  16716  phiprmpw  16717  eulerth  16724  pcfac  16841  prmreclem2  16859  prmreclem3  16860  prmreclem4  16861  prmreclem5  16862  prmrec  16864  1arith  16869  vdwlem6  16928  vdwlem10  16932  vdwlem12  16934  prmdvdsprmo  16984  prmgaplcmlem1  16993  prmgaplcm  17002  isstruct2  17090  gsumval3lem1  19851  gsumval3lem2  19852  gsumval3  19853  coe1mul2  22228  ehleudis  25391  ehleudisval  25392  ovoliunlem2  25477  uniioombllem6  25562  itg0  25754  itgz  25755  coemullem  26228  aannenlem1  26309  aannenlem2  26310  birthdaylem1  26934  birthdaylem2  26935  wilthlem2  27052  wilthlem3  27053  ftalem5  27060  ppifi  27089  prmdvdsfi  27090  chtdif  27141  ppidif  27146  chp1  27150  ppiltx  27160  prmorcht  27161  mumul  27164  sqff1o  27165  ppiub  27188  pclogsum  27199  logexprlim  27209  gausslemma2dlem1  27350  gausslemma2dlem5  27355  gausslemma2dlem6  27356  lgseisenlem2  27360  axlowdimlem16  29048  konigsberglem5  30349  pmtrto1cl  33199  psgnfzto1stlem  33200  fzto1st  33203  psgnfzto1st  33205  smatcl  33986  1smat1  33988  esumpcvgval  34262  esumcvg  34270  carsggect  34502  carsgclctunlem2  34503  oddpwdc  34538  eulerpartlemb  34552  ballotlem1  34671  ballotlem2  34673  ballotlemfelz  34675  ballotlemfp1  34676  ballotlemfc0  34677  ballotlemfcc  34678  ballotlemfmpn  34679  ballotlemiex  34686  ballotlemsup  34689  ballotlemfg  34710  ballotlemfrc  34711  ballotlemfrceq  34713  ballotth  34722  plymulx0  34731  fsum2dsub  34791  reprfi2  34807  breprexpnat  34818  hgt750lemb  34840  hgt750leme  34842  pthhashvtx  35350  subfacf  35397  subfacp1lem1  35401  subfacp1lem3  35404  subfacp1lem5  35406  subfacp1lem6  35407  erdszelem2  35414  erdszelem10  35422  cvmliftlem15  35520  bcprod  35960  ptrecube  37900  poimirlem25  37925  poimirlem26  37926  poimirlem27  37927  poimirlem28  37928  poimirlem29  37929  poimirlem30  37930  poimirlem31  37931  poimirlem32  37932  mblfinlem2  37938  volsupnfl  37945  itg2addnclem2  37952  nnubfi  38030  nninfnub  38031  cntotbnd  38076  lcmfunnnd  42411  lcmineqlem4  42431  lcmineqlem6  42433  lcmineqlem15  42442  lcmineqlem16  42443  lcmineqlem19  42446  lcmineqlem20  42447  lcmineqlem21  42448  lcmineqlem22  42449  sticksstones17  42562  fisdomnn  42643  fz1sumconst  42708  eldioph2lem1  43146  eldioph2lem2  43147  eldioph2  43148  pellexlem5  43219  pellex  43221  jm2.22  43381  jm2.23  43382  hbt  43516  rp-isfinite6  43903  fzisoeu  45691  sumnnodd  46019  stoweidlem37  46424  stoweidlem44  46431  stoweidlem59  46446  fourierdlem37  46531  fourierdlem103  46596  fourierdlem104  46597  etransclem16  46637  etransclem24  46645  etransclem25  46646  etransclem33  46654  etransclem35  46656  etransclem44  46665  etransclem45  46666  sge0reuz  46834  hoidmvlelem2  46983  aacllem  50189