Theorem fzfi 13919

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 9154	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2820	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13497	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9214	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4225	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 4012	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13918	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7267	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3976	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13916	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9172	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3024	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ∩ cin 3943  ∅c0 4318   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671  Oncon0 6353  –1-1-onto→wf1o 6531  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ωcom 7838  reccrdg 8391   ≈ cen 8919  Fincfn 8922  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   − cmin 11426  ℕ₀cn0 12454  ℤ_≥cuz 12804  ...cfz 13466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467

This theorem is referenced by:  fzfid  13920  fzofi  13921  fsequb  13922  fsequb2  13923  fseqsupcl  13924  ssnn0fi  13932  seqf1o  13991  isfinite4  14304  hashdom  14321  fzsdom2  14370  fnfz0hashnn0  14389  seqcoll2  14408  caubnd  15287  limsupgre  15407  summolem3  15642  summolem2  15644  zsum  15646  prodmolem3  15859  prodmolem2  15861  zprod  15863  risefallfac  15950  bpolylem  15974  phicl2  16683  phibnd  16686  hashdvds  16690  phiprmpw  16691  eulerth  16698  phisum  16705  pcfac  16814  prmreclem2  16832  prmreclem3  16833  prmreclem4  16834  prmreclem5  16835  prmrec  16837  1arith  16842  vdwlem6  16901  vdwlem10  16905  vdwlem12  16907  prmdvdsprmo  16957  prmgaplcmlem1  16966  prmgaplcm  16975  isstruct2  17064  gsumval3lem1  19732  gsumval3lem2  19733  gsumval3  19734  coe1mul2  21722  ehleudis  24864  ehleudisval  24865  ovoliunlem2  24949  uniioombllem6  25034  itg0  25226  itgz  25227  coemullem  25693  aannenlem1  25770  aannenlem2  25771  birthdaylem1  26383  birthdaylem2  26384  wilthlem2  26500  wilthlem3  26501  ftalem5  26508  ppifi  26537  prmdvdsfi  26538  chtdif  26589  ppidif  26594  chp1  26598  ppiltx  26608  prmorcht  26609  mumul  26612  sqff1o  26613  ppiub  26634  pclogsum  26645  logexprlim  26655  gausslemma2dlem1  26796  gausslemma2dlem5  26801  gausslemma2dlem6  26802  lgseisenlem2  26806  axlowdimlem16  28080  konigsberglem5  29374  pmtrto1cl  32129  psgnfzto1stlem  32130  fzto1st  32133  psgnfzto1st  32135  smatcl  32611  1smat1  32613  esumpcvgval  32905  esumcvg  32913  carsggect  33146  carsgclctunlem2  33147  oddpwdc  33182  eulerpartlemb  33196  ballotlem1  33314  ballotlem2  33316  ballotlemfelz  33318  ballotlemfp1  33319  ballotlemfc0  33320  ballotlemfcc  33321  ballotlemfmpn  33322  ballotlemiex  33329  ballotlemsup  33332  ballotlemfg  33353  ballotlemfrc  33354  ballotlemfrceq  33356  ballotth  33365  plymulx0  33387  fsum2dsub  33448  reprfi2  33464  breprexpnat  33475  hgt750lemb  33497  hgt750leme  33499  pthhashvtx  33947  subfacf  33995  subfacp1lem1  33999  subfacp1lem3  34002  subfacp1lem5  34004  subfacp1lem6  34005  erdszelem2  34012  erdszelem10  34020  cvmliftlem15  34118  bcprod  34536  ptrecube  36290  poimirlem25  36315  poimirlem26  36316  poimirlem27  36317  poimirlem28  36318  poimirlem29  36319  poimirlem30  36320  poimirlem31  36321  poimirlem32  36322  mblfinlem2  36328  volsupnfl  36335  itg2addnclem2  36342  nnubfi  36421  nninfnub  36422  cntotbnd  36467  lcmfunnnd  40680  lcmineqlem4  40700  lcmineqlem6  40702  lcmineqlem15  40711  lcmineqlem16  40712  lcmineqlem19  40715  lcmineqlem20  40716  lcmineqlem21  40717  lcmineqlem22  40718  sticksstones17  40782  eldioph2lem1  41267  eldioph2lem2  41268  eldioph2  41269  pellexlem5  41340  pellex  41342  jm2.22  41503  jm2.23  41504  hbt  41641  rp-isfinite6  42038  fzisoeu  43781  sumnnodd  44117  stoweidlem37  44524  stoweidlem44  44531  stoweidlem59  44546  fourierdlem37  44631  fourierdlem103  44696  fourierdlem104  44697  etransclem16  44737  etransclem24  44745  etransclem25  44746  etransclem33  44754  etransclem35  44756  etransclem44  44765  etransclem45  44766  sge0reuz  44934  hoidmvlelem2  45083  aacllem  47494