Theorem fzfi 12979

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8395	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2832	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 249	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 12562	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 8359	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 3993	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3795	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 12978	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 11941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 11919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 6732	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 581	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sseldi 3759	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 12976	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 8384	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 208	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3020	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  Vcvv 3350   ∩ cin 3731  ∅c0 4079   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888  ^◡ccnv 5276   ↾ cres 5279  Oncon0 5908  –1-1-onto→wf1o 6067  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ωcom 7263  reccrdg 7709   ≈ cen 8157  Fincfn 8160  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   − cmin 10520  ℕ₀cn0 11538  ℤ_≥cuz 11886  ...cfz 12533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534

This theorem is referenced by:  fzfid  12980  fzofi  12981  fsequb  12982  fsequb2  12983  fseqsupcl  12984  ssnn0fi  12992  seqf1o  13049  isfinite4  13355  hashdom  13370  fzsdom2  13416  fnfz0hashnn0  13433  seqcoll2  13450  caubnd  14385  limsupgre  14499  summolem3  14732  summolem2  14734  zsum  14736  prodmolem3  14948  prodmolem2  14950  zprod  14952  risefallfac  15039  bpolylem  15063  phicl2  15754  phibnd  15757  hashdvds  15761  phiprmpw  15762  eulerth  15769  phisum  15776  pcfac  15884  prmreclem2  15902  prmreclem3  15903  prmreclem4  15904  prmreclem5  15905  prmrec  15907  1arith  15912  vdwlem6  15971  vdwlem10  15975  vdwlem12  15977  prmdvdsprmo  16027  prmgaplcmlem1  16036  prmgaplcm  16045  isstruct2  16142  gsumval3lem1  18572  gsumval3lem2  18573  gsumval3  18574  coe1mul2  19912  ovoliunlem2  23561  uniioombllem6  23646  itg0  23837  itgz  23838  coemullem  24297  aannenlem1  24374  aannenlem2  24375  birthdaylem1  24969  birthdaylem2  24970  wilthlem2  25086  wilthlem3  25087  ftalem5  25094  ppifi  25123  prmdvdsfi  25124  chtdif  25175  ppidif  25180  chp1  25184  ppiltx  25194  prmorcht  25195  mumul  25198  sqff1o  25199  ppiub  25220  pclogsum  25231  logexprlim  25241  gausslemma2dlem1  25382  gausslemma2dlem5  25387  gausslemma2dlem6  25388  lgseisenlem2  25392  axlowdimlem16  26128  konigsberglem5  27492  pmtrto1cl  30231  psgnfzto1stlem  30232  fzto1st  30235  psgnfzto1st  30237  smatcl  30250  1smat1  30252  esumpcvgval  30522  esumcvg  30530  carsggect  30762  carsgclctunlem2  30763  oddpwdc  30798  eulerpartlemb  30812  ballotlem1  30931  ballotlem2  30933  ballotlemfelz  30935  ballotlemfp1  30936  ballotlemfc0  30937  ballotlemfcc  30938  ballotlemfmpn  30939  ballotlemiex  30946  ballotlemsup  30949  ballotlemfg  30970  ballotlemfrc  30971  ballotlemfrceq  30973  ballotth  30982  plymulx0  31007  fsum2dsub  31068  reprfi2  31084  breprexpnat  31095  hgt750lemb  31117  hgt750leme  31119  subfacf  31537  subfacp1lem1  31541  subfacp1lem3  31544  subfacp1lem5  31546  subfacp1lem6  31547  erdszelem2  31554  erdszelem10  31562  cvmliftlem15  31660  bcprod  32001  ptrecube  33765  poimirlem25  33790  poimirlem26  33791  poimirlem27  33792  poimirlem28  33793  poimirlem29  33794  poimirlem30  33795  poimirlem31  33796  poimirlem32  33797  mblfinlem2  33803  volsupnfl  33810  itg2addnclem2  33817  nnubfi  33900  nninfnub  33901  cntotbnd  33949  eldioph2lem1  37933  eldioph2lem2  37934  eldioph2  37935  pellexlem5  38007  pellex  38009  jm2.22  38171  jm2.23  38172  hbt  38309  rp-isfinite6  38471  fzisoeu  40085  sumnnodd  40432  stoweidlem37  40823  stoweidlem44  40830  stoweidlem59  40845  fourierdlem37  40930  fourierdlem103  40995  fourierdlem104  40996  etransclem16  41036  etransclem24  41044  etransclem25  41045  etransclem33  41053  etransclem35  41055  etransclem44  41064  etransclem45  41065  sge0reuz  41233  hoidmvlelem2  41382  aacllem  43151