MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzfi 13884
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 9122 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2826 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 258 . 2 ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4 fzn0 13462 . . 3 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 onfin2 9182 . . . . . 6 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 4194 . . . . . 6 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3983 . . . . 5 ω ⊆ Fin
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
98hashgf1o 13883 . . . . . 6 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10 peano2uz 12833 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
11 uznn0sub 12809 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13 f1ocnvdm 7236 . . . . . 6 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
149, 12, 13sylancr 588 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
157, 14sselid 3947 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
168fzen2 13881 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17 enfii 9140 . . . 4 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
1815, 16, 17syl2anc 585 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
194, 18sylbi 216 . 2 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
203, 19pm2.61ine 3029 1 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  cin 3914  c0 4287   class class class wbr 5110  cmpt 5193  ccnv 5637  cres 5640  Oncon0 6322  1-1-ontowf1o 6500  cfv 6501  (class class class)co 7362  ωcom 7807  reccrdg 8360  cen 8887  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  0cn0 12420  cuz 12770  ...cfz 13431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432
This theorem is referenced by:  fzfid  13885  fzofi  13886  fsequb  13887  fsequb2  13888  fseqsupcl  13889  ssnn0fi  13897  seqf1o  13956  isfinite4  14269  hashdom  14286  fzsdom2  14335  fnfz0hashnn0  14352  seqcoll2  14371  caubnd  15250  limsupgre  15370  summolem3  15606  summolem2  15608  zsum  15610  prodmolem3  15823  prodmolem2  15825  zprod  15827  risefallfac  15914  bpolylem  15938  phicl2  16647  phibnd  16650  hashdvds  16654  phiprmpw  16655  eulerth  16662  phisum  16669  pcfac  16778  prmreclem2  16796  prmreclem3  16797  prmreclem4  16798  prmreclem5  16799  prmrec  16801  1arith  16806  vdwlem6  16865  vdwlem10  16869  vdwlem12  16871  prmdvdsprmo  16921  prmgaplcmlem1  16930  prmgaplcm  16939  isstruct2  17028  gsumval3lem1  19689  gsumval3lem2  19690  gsumval3  19691  coe1mul2  21656  ehleudis  24798  ehleudisval  24799  ovoliunlem2  24883  uniioombllem6  24968  itg0  25160  itgz  25161  coemullem  25627  aannenlem1  25704  aannenlem2  25705  birthdaylem1  26317  birthdaylem2  26318  wilthlem2  26434  wilthlem3  26435  ftalem5  26442  ppifi  26471  prmdvdsfi  26472  chtdif  26523  ppidif  26528  chp1  26532  ppiltx  26542  prmorcht  26543  mumul  26546  sqff1o  26547  ppiub  26568  pclogsum  26579  logexprlim  26589  gausslemma2dlem1  26730  gausslemma2dlem5  26735  gausslemma2dlem6  26736  lgseisenlem2  26740  axlowdimlem16  27948  konigsberglem5  29242  pmtrto1cl  31990  psgnfzto1stlem  31991  fzto1st  31994  psgnfzto1st  31996  smatcl  32423  1smat1  32425  esumpcvgval  32717  esumcvg  32725  carsggect  32958  carsgclctunlem2  32959  oddpwdc  32994  eulerpartlemb  33008  ballotlem1  33126  ballotlem2  33128  ballotlemfelz  33130  ballotlemfp1  33131  ballotlemfc0  33132  ballotlemfcc  33133  ballotlemfmpn  33134  ballotlemiex  33141  ballotlemsup  33144  ballotlemfg  33165  ballotlemfrc  33166  ballotlemfrceq  33168  ballotth  33177  plymulx0  33199  fsum2dsub  33260  reprfi2  33276  breprexpnat  33287  hgt750lemb  33309  hgt750leme  33311  pthhashvtx  33761  subfacf  33809  subfacp1lem1  33813  subfacp1lem3  33816  subfacp1lem5  33818  subfacp1lem6  33819  erdszelem2  33826  erdszelem10  33834  cvmliftlem15  33932  bcprod  34350  ptrecube  36107  poimirlem25  36132  poimirlem26  36133  poimirlem27  36134  poimirlem28  36135  poimirlem29  36136  poimirlem30  36137  poimirlem31  36138  poimirlem32  36139  mblfinlem2  36145  volsupnfl  36152  itg2addnclem2  36159  nnubfi  36238  nninfnub  36239  cntotbnd  36284  lcmfunnnd  40498  lcmineqlem4  40518  lcmineqlem6  40520  lcmineqlem15  40529  lcmineqlem16  40530  lcmineqlem19  40533  lcmineqlem20  40534  lcmineqlem21  40535  lcmineqlem22  40536  sticksstones17  40600  eldioph2lem1  41112  eldioph2lem2  41113  eldioph2  41114  pellexlem5  41185  pellex  41187  jm2.22  41348  jm2.23  41349  hbt  41486  rp-isfinite6  41864  fzisoeu  43608  sumnnodd  43945  stoweidlem37  44352  stoweidlem44  44359  stoweidlem59  44374  fourierdlem37  44459  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525  etransclem16  44565  etransclem24  44573  etransclem25  44574  etransclem33  44582  etransclem35  44584  etransclem44  44593  etransclem45  44594  sge0reuz  44762  hoidmvlelem2  44911  aacllem  47322
  Copyright terms: Public domain W3C validator