Theorem fzfi 13343

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8749	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2903	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 12924	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 8713	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4209	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 4004	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13342	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7044	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sseldi 3968	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13340	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 8738	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3103	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  Vcvv 3497   ∩ cin 3938  ∅c0 4294   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ^◡ccnv 5557   ↾ cres 5560  Oncon0 6194  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ωcom 7583  reccrdg 8048   ≈ cen 8509  Fincfn 8512  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   − cmin 10873  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  fzfid  13344  fzofi  13345  fsequb  13346  fsequb2  13347  fseqsupcl  13348  ssnn0fi  13356  seqf1o  13414  isfinite4  13726  hashdom  13743  fzsdom2  13792  fnfz0hashnn0  13809  seqcoll2  13826  caubnd  14721  limsupgre  14841  summolem3  15074  summolem2  15076  zsum  15078  prodmolem3  15290  prodmolem2  15292  zprod  15294  risefallfac  15381  bpolylem  15405  phicl2  16108  phibnd  16111  hashdvds  16115  phiprmpw  16116  eulerth  16123  phisum  16130  pcfac  16238  prmreclem2  16256  prmreclem3  16257  prmreclem4  16258  prmreclem5  16259  prmrec  16261  1arith  16266  vdwlem6  16325  vdwlem10  16329  vdwlem12  16331  prmdvdsprmo  16381  prmgaplcmlem1  16390  prmgaplcm  16399  isstruct2  16496  gsumval3lem1  19028  gsumval3lem2  19029  gsumval3  19030  coe1mul2  20440  ehleudis  24024  ehleudisval  24025  ovoliunlem2  24107  uniioombllem6  24192  itg0  24383  itgz  24384  coemullem  24843  aannenlem1  24920  aannenlem2  24921  birthdaylem1  25532  birthdaylem2  25533  wilthlem2  25649  wilthlem3  25650  ftalem5  25657  ppifi  25686  prmdvdsfi  25687  chtdif  25738  ppidif  25743  chp1  25747  ppiltx  25757  prmorcht  25758  mumul  25761  sqff1o  25762  ppiub  25783  pclogsum  25794  logexprlim  25804  gausslemma2dlem1  25945  gausslemma2dlem5  25950  gausslemma2dlem6  25951  lgseisenlem2  25955  axlowdimlem16  26746  konigsberglem5  28038  pmtrto1cl  30745  psgnfzto1stlem  30746  fzto1st  30749  psgnfzto1st  30751  smatcl  31071  1smat1  31073  esumpcvgval  31341  esumcvg  31349  carsggect  31580  carsgclctunlem2  31581  oddpwdc  31616  eulerpartlemb  31630  ballotlem1  31748  ballotlem2  31750  ballotlemfelz  31752  ballotlemfp1  31753  ballotlemfc0  31754  ballotlemfcc  31755  ballotlemfmpn  31756  ballotlemiex  31763  ballotlemsup  31766  ballotlemfg  31787  ballotlemfrc  31788  ballotlemfrceq  31790  ballotth  31799  plymulx0  31821  fsum2dsub  31882  reprfi2  31898  breprexpnat  31909  hgt750lemb  31931  hgt750leme  31933  pthhashvtx  32378  subfacf  32426  subfacp1lem1  32430  subfacp1lem3  32433  subfacp1lem5  32435  subfacp1lem6  32436  erdszelem2  32443  erdszelem10  32451  cvmliftlem15  32549  bcprod  32974  ptrecube  34896  poimirlem25  34921  poimirlem26  34922  poimirlem27  34923  poimirlem28  34924  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem31  34927  poimirlem32  34928  mblfinlem2  34934  volsupnfl  34941  itg2addnclem2  34948  nnubfi  35029  nninfnub  35030  cntotbnd  35078  eldioph2lem1  39363  eldioph2lem2  39364  eldioph2  39365  pellexlem5  39436  pellex  39438  jm2.22  39598  jm2.23  39599  hbt  39736  rp-isfinite6  39890  fzisoeu  41573  sumnnodd  41917  stoweidlem37  42329  stoweidlem44  42336  stoweidlem59  42351  fourierdlem37  42436  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  etransclem16  42542  etransclem24  42550  etransclem25  42551  etransclem33  42559  etransclem35  42561  etransclem44  42570  etransclem45  42571  sge0reuz  42736  hoidmvlelem2  42885  aacllem  44909