Theorem fzfi 13987

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9025	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2852	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13545	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9187	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4191	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13986	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7271	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13984	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9156	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3042	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  Vcvv 3456   ∩ cin 3905  ∅c0 4287   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651  Oncon0 6348  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ωcom 7848  reccrdg 8382   ≈ cen 8926  Fincfn 8929  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11416  ℕ₀cn0 12483  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  fzfid  13988  fzofi  13989  fsequb  13990  fsequb2  13991  fseqsupcl  13992  ssnn0fi  14000  seqf1o  14058  isfinite4  14377  hashdom  14394  fzsdom2  14443  fnfz0hashnn0  14463  seqcoll2  14480  caubnd  15388  limsupgre  15510  summolem3  15743  summolem2  15745  zsum  15747  prodmolem3  15965  prodmolem2  15967  zprod  15969  risefallfac  16056  bpolylem  16080  phicl2  16805  phibnd  16808  hashdvds  16812  phiprmpw  16813  eulerth  16820  pcfac  16937  prmreclem2  16955  prmreclem3  16956  prmreclem4  16957  prmreclem5  16958  prmrec  16960  1arith  16965  vdwlem6  17024  vdwlem10  17028  vdwlem12  17030  prmdvdsprmo  17080  prmgaplcmlem1  17089  prmgaplcm  17098  isstruct2  17187  gsumval3lem1  19947  gsumval3lem2  19948  gsumval3  19949  coe1mul2  22334  ehleudis  25482  ehleudisval  25483  ovoliunlem2  25567  uniioombllem6  25652  itg0  25844  itgz  25845  coemullem  26312  plyn0mulidp  26347  aannenlem1  26394  aannenlem2  26395  birthdaylem1  27018  birthdaylem2  27019  wilthlem2  27135  wilthlem3  27136  ftalem5  27143  ppifi  27172  prmdvdsfi  27173  chtdif  27224  ppidif  27229  chp1  27233  ppiltx  27243  prmorcht  27244  mumul  27247  sqff1o  27248  ppiub  27270  pclogsum  27281  logexprlim  27291  gausslemma2dlem1  27432  gausslemma2dlem5  27437  gausslemma2dlem6  27438  lgseisenlem2  27442  axlowdimlem16  29160  konigsberglem5  30460  pmtrto1cl  33281  psgnfzto1stlem  33282  fzto1st  33285  psgnfzto1st  33287  smatcl  34101  1smat1  34103  esumpcvgval  34377  esumcvg  34385  carsggect  34617  carsgclctunlem2  34618  oddpwdc  34653  eulerpartlemb  34667  ballotlem1  34786  ballotlem2  34788  ballotlemfelz  34790  ballotlemfp1  34791  ballotlemfc0  34792  ballotlemfcc  34793  ballotlemfmpn  34794  ballotlemiex  34801  ballotlemsup  34804  ballotlemfg  34825  ballotlemfrc  34826  ballotlemfrceq  34828  ballotth  34837  fsum2dsub  34903  reprfi2  34919  breprexpnat  34930  hgt750lemb  34952  hgt750leme  34954  pthhashvtx  35483  subfacf  35530  subfacp1lem1  35534  subfacp1lem3  35537  subfacp1lem5  35539  subfacp1lem6  35540  erdszelem2  35547  erdszelem10  35555  cvmliftlem15  35653  bcprod  36093  ptrecube  38124  poimirlem25  38149  poimirlem26  38150  poimirlem27  38151  poimirlem28  38152  poimirlem29  38153  poimirlem30  38154  poimirlem31  38155  poimirlem32  38156  mblfinlem2  38162  volsupnfl  38169  itg2addnclem2  38176  nnubfi  38254  nninfnub  38255  cntotbnd  38300  lcmfunnnd  42634  lcmineqlem4  42654  lcmineqlem6  42656  lcmineqlem15  42665  lcmineqlem16  42666  lcmineqlem19  42669  lcmineqlem20  42670  lcmineqlem21  42671  lcmineqlem22  42672  sticksstones17  42785  fisdomnn  42865  fz1sumconst  42923  eldioph2lem1  43346  eldioph2lem2  43347  eldioph2  43348  pellexlem5  43415  pellex  43417  jm2.22  43577  jm2.23  43578  hbt  43712  rp-isfinite6  44099  fzisoeu  45884  sumnnodd  46211  stoweidlem37  46616  stoweidlem44  46623  stoweidlem59  46638  fourierdlem37  46723  fourierdlem103  46788  fourierdlem104  46789  etransclem16  46829  etransclem24  46837  etransclem25  46838  etransclem33  46846  etransclem35  46848  etransclem44  46857  etransclem45  46858  sge0reuz  47026  hoidmvlelem2  47175  aacllem  50427