Theorem fzfi 13887

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 9122	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2820	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13465	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9182	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4194	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3981	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13886	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7236	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3945	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13884	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9140	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3024	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3446   ∩ cin 3912  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  Oncon0 6322  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ωcom 7807  reccrdg 8360   ≈ cen 8887  Fincfn 8890  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   − cmin 11394  ℕ₀cn0 12422  ℤ_≥cuz 12772  ...cfz 13434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435

This theorem is referenced by:  fzfid  13888  fzofi  13889  fsequb  13890  fsequb2  13891  fseqsupcl  13892  ssnn0fi  13900  seqf1o  13959  isfinite4  14272  hashdom  14289  fzsdom2  14338  fnfz0hashnn0  14357  seqcoll2  14376  caubnd  15255  limsupgre  15375  summolem3  15610  summolem2  15612  zsum  15614  prodmolem3  15827  prodmolem2  15829  zprod  15831  risefallfac  15918  bpolylem  15942  phicl2  16651  phibnd  16654  hashdvds  16658  phiprmpw  16659  eulerth  16666  phisum  16673  pcfac  16782  prmreclem2  16800  prmreclem3  16801  prmreclem4  16802  prmreclem5  16803  prmrec  16805  1arith  16810  vdwlem6  16869  vdwlem10  16873  vdwlem12  16875  prmdvdsprmo  16925  prmgaplcmlem1  16934  prmgaplcm  16943  isstruct2  17032  gsumval3lem1  19696  gsumval3lem2  19697  gsumval3  19698  coe1mul2  21677  ehleudis  24819  ehleudisval  24820  ovoliunlem2  24904  uniioombllem6  24989  itg0  25181  itgz  25182  coemullem  25648  aannenlem1  25725  aannenlem2  25726  birthdaylem1  26338  birthdaylem2  26339  wilthlem2  26455  wilthlem3  26456  ftalem5  26463  ppifi  26492  prmdvdsfi  26493  chtdif  26544  ppidif  26549  chp1  26553  ppiltx  26563  prmorcht  26564  mumul  26567  sqff1o  26568  ppiub  26589  pclogsum  26600  logexprlim  26610  gausslemma2dlem1  26751  gausslemma2dlem5  26756  gausslemma2dlem6  26757  lgseisenlem2  26761  axlowdimlem16  27969  konigsberglem5  29263  pmtrto1cl  32018  psgnfzto1stlem  32019  fzto1st  32022  psgnfzto1st  32024  smatcl  32472  1smat1  32474  esumpcvgval  32766  esumcvg  32774  carsggect  33007  carsgclctunlem2  33008  oddpwdc  33043  eulerpartlemb  33057  ballotlem1  33175  ballotlem2  33177  ballotlemfelz  33179  ballotlemfp1  33180  ballotlemfc0  33181  ballotlemfcc  33182  ballotlemfmpn  33183  ballotlemiex  33190  ballotlemsup  33193  ballotlemfg  33214  ballotlemfrc  33215  ballotlemfrceq  33217  ballotth  33226  plymulx0  33248  fsum2dsub  33309  reprfi2  33325  breprexpnat  33336  hgt750lemb  33358  hgt750leme  33360  pthhashvtx  33808  subfacf  33856  subfacp1lem1  33860  subfacp1lem3  33863  subfacp1lem5  33865  subfacp1lem6  33866  erdszelem2  33873  erdszelem10  33881  cvmliftlem15  33979  bcprod  34397  ptrecube  36151  poimirlem25  36176  poimirlem26  36177  poimirlem27  36178  poimirlem28  36179  poimirlem29  36180  poimirlem30  36181  poimirlem31  36182  poimirlem32  36183  mblfinlem2  36189  volsupnfl  36196  itg2addnclem2  36203  nnubfi  36282  nninfnub  36283  cntotbnd  36328  lcmfunnnd  40542  lcmineqlem4  40562  lcmineqlem6  40564  lcmineqlem15  40573  lcmineqlem16  40574  lcmineqlem19  40577  lcmineqlem20  40578  lcmineqlem21  40579  lcmineqlem22  40580  sticksstones17  40644  eldioph2lem1  41141  eldioph2lem2  41142  eldioph2  41143  pellexlem5  41214  pellex  41216  jm2.22  41377  jm2.23  41378  hbt  41515  rp-isfinite6  41912  fzisoeu  43655  sumnnodd  43991  stoweidlem37  44398  stoweidlem44  44405  stoweidlem59  44420  fourierdlem37  44505  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  etransclem16  44611  etransclem24  44619  etransclem25  44620  etransclem33  44628  etransclem35  44630  etransclem44  44639  etransclem45  44640  sge0reuz  44808  hoidmvlelem2  44957  aacllem  47368