Theorem fzfi 13879

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8964	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2819	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13438	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9125	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4185	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3976	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13878	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7219	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3927	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9095	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3011	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616  Oncon0 6306  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796  reccrdg 8328   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  fzfid  13880  fzofi  13881  fsequb  13882  fsequb2  13883  fseqsupcl  13884  ssnn0fi  13892  seqf1o  13950  isfinite4  14269  hashdom  14286  fzsdom2  14335  fnfz0hashnn0  14355  seqcoll2  14372  caubnd  15266  limsupgre  15388  summolem3  15621  summolem2  15623  zsum  15625  prodmolem3  15840  prodmolem2  15842  zprod  15844  risefallfac  15931  bpolylem  15955  phicl2  16679  phibnd  16682  hashdvds  16686  phiprmpw  16687  eulerth  16694  pcfac  16811  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmrec  16834  1arith  16839  vdwlem6  16898  vdwlem10  16902  vdwlem12  16904  prmdvdsprmo  16954  prmgaplcmlem1  16963  prmgaplcm  16972  isstruct2  17060  gsumval3lem1  19817  gsumval3lem2  19818  gsumval3  19819  coe1mul2  22183  ehleudis  25345  ehleudisval  25346  ovoliunlem2  25431  uniioombllem6  25516  itg0  25708  itgz  25709  coemullem  26182  aannenlem1  26263  aannenlem2  26264  birthdaylem1  26888  birthdaylem2  26889  wilthlem2  27006  wilthlem3  27007  ftalem5  27014  ppifi  27043  prmdvdsfi  27044  chtdif  27095  ppidif  27100  chp1  27104  ppiltx  27114  prmorcht  27115  mumul  27118  sqff1o  27119  ppiub  27142  pclogsum  27153  logexprlim  27163  gausslemma2dlem1  27304  gausslemma2dlem5  27309  gausslemma2dlem6  27310  lgseisenlem2  27314  axlowdimlem16  28935  konigsberglem5  30236  pmtrto1cl  33068  psgnfzto1stlem  33069  fzto1st  33072  psgnfzto1st  33074  smatcl  33815  1smat1  33817  esumpcvgval  34091  esumcvg  34099  carsggect  34331  carsgclctunlem2  34332  oddpwdc  34367  eulerpartlemb  34381  ballotlem1  34500  ballotlem2  34502  ballotlemfelz  34504  ballotlemfp1  34505  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  ballotlemfmpn  34508  ballotlemiex  34515  ballotlemsup  34518  ballotlemfg  34539  ballotlemfrc  34540  ballotlemfrceq  34542  ballotth  34551  plymulx0  34560  fsum2dsub  34620  reprfi2  34636  breprexpnat  34647  hgt750lemb  34669  hgt750leme  34671  pthhashvtx  35172  subfacf  35219  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem3  35226  subfacp1lem5  35228  subfacp1lem6  35229  erdszelem2  35236  erdszelem10  35244  cvmliftlem15  35342  bcprod  35782  ptrecube  37659  poimirlem25  37684  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem28  37687  poimirlem29  37688  poimirlem30  37689  poimirlem31  37690  poimirlem32  37691  mblfinlem2  37697  volsupnfl  37704  itg2addnclem2  37711  nnubfi  37789  nninfnub  37790  cntotbnd  37835  lcmfunnnd  42104  lcmineqlem4  42124  lcmineqlem6  42126  lcmineqlem15  42135  lcmineqlem16  42136  lcmineqlem19  42139  lcmineqlem20  42140  lcmineqlem21  42141  lcmineqlem22  42142  sticksstones17  42255  fisdomnn  42336  fz1sumconst  42401  eldioph2lem1  42852  eldioph2lem2  42853  eldioph2  42854  pellexlem5  42925  pellex  42927  jm2.22  43087  jm2.23  43088  hbt  43222  rp-isfinite6  43610  fzisoeu  45400  sumnnodd  45729  stoweidlem37  46134  stoweidlem44  46141  stoweidlem59  46156  fourierdlem37  46241  fourierdlem103  46306  fourierdlem104  46307  etransclem16  46347  etransclem24  46355  etransclem25  46356  etransclem33  46364  etransclem35  46366  etransclem44  46375  etransclem45  46376  sge0reuz  46544  hoidmvlelem2  46693  aacllem  49901