Theorem fzfi 13937

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 9171	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2822	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13515	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9231	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4230	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 4017	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13936	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7283	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3981	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13934	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9189	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3026	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  ∅c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679  Oncon0 6365  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855  reccrdg 8409   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  fzfid  13938  fzofi  13939  fsequb  13940  fsequb2  13941  fseqsupcl  13942  ssnn0fi  13950  seqf1o  14009  isfinite4  14322  hashdom  14339  fzsdom2  14388  fnfz0hashnn0  14407  seqcoll2  14426  caubnd  15305  limsupgre  15425  summolem3  15660  summolem2  15662  zsum  15664  prodmolem3  15877  prodmolem2  15879  zprod  15881  risefallfac  15968  bpolylem  15992  phicl2  16701  phibnd  16704  hashdvds  16708  phiprmpw  16709  eulerth  16716  phisum  16723  pcfac  16832  prmreclem2  16850  prmreclem3  16851  prmreclem4  16852  prmreclem5  16853  prmrec  16855  1arith  16860  vdwlem6  16919  vdwlem10  16923  vdwlem12  16925  prmdvdsprmo  16975  prmgaplcmlem1  16984  prmgaplcm  16993  isstruct2  17082  gsumval3lem1  19773  gsumval3lem2  19774  gsumval3  19775  coe1mul2  21791  ehleudis  24935  ehleudisval  24936  ovoliunlem2  25020  uniioombllem6  25105  itg0  25297  itgz  25298  coemullem  25764  aannenlem1  25841  aannenlem2  25842  birthdaylem1  26456  birthdaylem2  26457  wilthlem2  26573  wilthlem3  26574  ftalem5  26581  ppifi  26610  prmdvdsfi  26611  chtdif  26662  ppidif  26667  chp1  26671  ppiltx  26681  prmorcht  26682  mumul  26685  sqff1o  26686  ppiub  26707  pclogsum  26718  logexprlim  26728  gausslemma2dlem1  26869  gausslemma2dlem5  26874  gausslemma2dlem6  26875  lgseisenlem2  26879  axlowdimlem16  28215  konigsberglem5  29509  pmtrto1cl  32258  psgnfzto1stlem  32259  fzto1st  32262  psgnfzto1st  32264  smatcl  32782  1smat1  32784  esumpcvgval  33076  esumcvg  33084  carsggect  33317  carsgclctunlem2  33318  oddpwdc  33353  eulerpartlemb  33367  ballotlem1  33485  ballotlem2  33487  ballotlemfelz  33489  ballotlemfp1  33490  ballotlemfc0  33491  ballotlemfcc  33492  ballotlemfmpn  33493  ballotlemiex  33500  ballotlemsup  33503  ballotlemfg  33524  ballotlemfrc  33525  ballotlemfrceq  33527  ballotth  33536  plymulx0  33558  fsum2dsub  33619  reprfi2  33635  breprexpnat  33646  hgt750lemb  33668  hgt750leme  33670  pthhashvtx  34118  subfacf  34166  subfacp1lem1  34170  subfacp1lem3  34173  subfacp1lem5  34175  subfacp1lem6  34176  erdszelem2  34183  erdszelem10  34191  cvmliftlem15  34289  bcprod  34708  ptrecube  36488  poimirlem25  36513  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem28  36516  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  poimirlem32  36520  mblfinlem2  36526  volsupnfl  36533  itg2addnclem2  36540  nnubfi  36618  nninfnub  36619  cntotbnd  36664  lcmfunnnd  40877  lcmineqlem4  40897  lcmineqlem6  40899  lcmineqlem15  40908  lcmineqlem16  40909  lcmineqlem19  40912  lcmineqlem20  40913  lcmineqlem21  40914  lcmineqlem22  40915  sticksstones17  40979  fz1sumconst  41207  eldioph2lem1  41498  eldioph2lem2  41499  eldioph2  41500  pellexlem5  41571  pellex  41573  jm2.22  41734  jm2.23  41735  hbt  41872  rp-isfinite6  42269  fzisoeu  44010  sumnnodd  44346  stoweidlem37  44753  stoweidlem44  44760  stoweidlem59  44775  fourierdlem37  44860  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  etransclem16  44966  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem33  44983  etransclem35  44985  etransclem44  44994  etransclem45  44995  sge0reuz  45163  hoidmvlelem2  45312  aacllem  47848