Theorem fzfi 13992

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9080	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2814	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13569	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9265	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4231	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 4014	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13991	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7299	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3977	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13989	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9223	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3015	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  Vcvv 3462   ∩ cin 3946  ∅c0 4325   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ^◡ccnv 5681   ↾ cres 5684  Oncon0 6376  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ωcom 7876  reccrdg 8439   ≈ cen 8971  Fincfn 8974  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   − cmin 11494  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12874  ...cfz 13538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539

This theorem is referenced by:  fzfid  13993  fzofi  13994  fsequb  13995  fsequb2  13996  fseqsupcl  13997  ssnn0fi  14005  seqf1o  14063  isfinite4  14379  hashdom  14396  fzsdom2  14445  fnfz0hashnn0  14465  seqcoll2  14484  caubnd  15363  limsupgre  15483  summolem3  15718  summolem2  15720  zsum  15722  prodmolem3  15935  prodmolem2  15937  zprod  15939  risefallfac  16026  bpolylem  16050  phicl2  16770  phibnd  16773  hashdvds  16777  phiprmpw  16778  eulerth  16785  phisum  16792  pcfac  16901  prmreclem2  16919  prmreclem3  16920  prmreclem4  16921  prmreclem5  16922  prmrec  16924  1arith  16929  vdwlem6  16988  vdwlem10  16992  vdwlem12  16994  prmdvdsprmo  17044  prmgaplcmlem1  17053  prmgaplcm  17062  isstruct2  17151  gsumval3lem1  19903  gsumval3lem2  19904  gsumval3  19905  coe1mul2  22260  ehleudis  25437  ehleudisval  25438  ovoliunlem2  25523  uniioombllem6  25608  itg0  25800  itgz  25801  coemullem  26277  aannenlem1  26356  aannenlem2  26357  birthdaylem1  26979  birthdaylem2  26980  wilthlem2  27097  wilthlem3  27098  ftalem5  27105  ppifi  27134  prmdvdsfi  27135  chtdif  27186  ppidif  27191  chp1  27195  ppiltx  27205  prmorcht  27206  mumul  27209  sqff1o  27210  ppiub  27233  pclogsum  27244  logexprlim  27254  gausslemma2dlem1  27395  gausslemma2dlem5  27400  gausslemma2dlem6  27401  lgseisenlem2  27405  axlowdimlem16  28891  konigsberglem5  30189  pmtrto1cl  32977  psgnfzto1stlem  32978  fzto1st  32981  psgnfzto1st  32983  smatcl  33617  1smat1  33619  esumpcvgval  33911  esumcvg  33919  carsggect  34152  carsgclctunlem2  34153  oddpwdc  34188  eulerpartlemb  34202  ballotlem1  34320  ballotlem2  34322  ballotlemfelz  34324  ballotlemfp1  34325  ballotlemfc0  34326  ballotlemfcc  34327  ballotlemfmpn  34328  ballotlemiex  34335  ballotlemsup  34338  ballotlemfg  34359  ballotlemfrc  34360  ballotlemfrceq  34362  ballotth  34371  plymulx0  34393  fsum2dsub  34453  reprfi2  34469  breprexpnat  34480  hgt750lemb  34502  hgt750leme  34504  pthhashvtx  34955  subfacf  35003  subfacp1lem1  35007  subfacp1lem3  35010  subfacp1lem5  35012  subfacp1lem6  35013  erdszelem2  35020  erdszelem10  35028  cvmliftlem15  35126  bcprod  35560  ptrecube  37321  poimirlem25  37346  poimirlem26  37347  poimirlem27  37348  poimirlem28  37349  poimirlem29  37350  poimirlem30  37351  poimirlem31  37352  poimirlem32  37353  mblfinlem2  37359  volsupnfl  37366  itg2addnclem2  37373  nnubfi  37451  nninfnub  37452  cntotbnd  37497  lcmfunnnd  41711  lcmineqlem4  41731  lcmineqlem6  41733  lcmineqlem15  41742  lcmineqlem16  41743  lcmineqlem19  41746  lcmineqlem20  41747  lcmineqlem21  41748  lcmineqlem22  41749  sticksstones17  41861  fz1sumconst  42108  eldioph2lem1  42417  eldioph2lem2  42418  eldioph2  42419  pellexlem5  42490  pellex  42492  jm2.22  42653  jm2.23  42654  hbt  42791  rp-isfinite6  43185  fzisoeu  44915  sumnnodd  45251  stoweidlem37  45658  stoweidlem44  45665  stoweidlem59  45680  fourierdlem37  45765  fourierdlem103  45830  fourierdlem104  45831  etransclem16  45871  etransclem24  45879  etransclem25  45880  etransclem33  45888  etransclem35  45890  etransclem44  45899  etransclem45  45900  sge0reuz  46068  hoidmvlelem2  46217  aacllem  48549