Theorem fzfi 13915

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8990	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13477	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9157	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4197	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3990	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13914	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7242	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3941	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13912	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9127	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∩ cin 3910  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633  Oncon0 6320  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822  reccrdg 8354   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  0cc0 11046  1c1 11047   + caddc 11049   − cmin 11383  ℕ₀cn0 12420  ℤ_≥cuz 12771  ...cfz 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447

This theorem is referenced by:  fzfid  13916  fzofi  13917  fsequb  13918  fsequb2  13919  fseqsupcl  13920  ssnn0fi  13928  seqf1o  13986  isfinite4  14305  hashdom  14322  fzsdom2  14371  fnfz0hashnn0  14391  seqcoll2  14408  caubnd  15302  limsupgre  15424  summolem3  15657  summolem2  15659  zsum  15661  prodmolem3  15876  prodmolem2  15878  zprod  15880  risefallfac  15967  bpolylem  15991  phicl2  16715  phibnd  16718  hashdvds  16722  phiprmpw  16723  eulerth  16730  pcfac  16847  prmreclem2  16865  prmreclem3  16866  prmreclem4  16867  prmreclem5  16868  prmrec  16870  1arith  16875  vdwlem6  16934  vdwlem10  16938  vdwlem12  16940  prmdvdsprmo  16990  prmgaplcmlem1  16999  prmgaplcm  17008  isstruct2  17096  gsumval3lem1  19820  gsumval3lem2  19821  gsumval3  19822  coe1mul2  22189  ehleudis  25352  ehleudisval  25353  ovoliunlem2  25438  uniioombllem6  25523  itg0  25715  itgz  25716  coemullem  26189  aannenlem1  26270  aannenlem2  26271  birthdaylem1  26895  birthdaylem2  26896  wilthlem2  27013  wilthlem3  27014  ftalem5  27021  ppifi  27050  prmdvdsfi  27051  chtdif  27102  ppidif  27107  chp1  27111  ppiltx  27121  prmorcht  27122  mumul  27125  sqff1o  27126  ppiub  27149  pclogsum  27160  logexprlim  27170  gausslemma2dlem1  27311  gausslemma2dlem5  27316  gausslemma2dlem6  27317  lgseisenlem2  27321  axlowdimlem16  28938  konigsberglem5  30236  pmtrto1cl  33072  psgnfzto1stlem  33073  fzto1st  33076  psgnfzto1st  33078  smatcl  33786  1smat1  33788  esumpcvgval  34062  esumcvg  34070  carsggect  34303  carsgclctunlem2  34304  oddpwdc  34339  eulerpartlemb  34353  ballotlem1  34472  ballotlem2  34474  ballotlemfelz  34476  ballotlemfp1  34477  ballotlemfc0  34478  ballotlemfcc  34479  ballotlemfmpn  34480  ballotlemiex  34487  ballotlemsup  34490  ballotlemfg  34511  ballotlemfrc  34512  ballotlemfrceq  34514  ballotth  34523  plymulx0  34532  fsum2dsub  34592  reprfi2  34608  breprexpnat  34619  hgt750lemb  34641  hgt750leme  34643  pthhashvtx  35109  subfacf  35156  subfacp1lem1  35160  subfacp1lem3  35163  subfacp1lem5  35165  subfacp1lem6  35166  erdszelem2  35173  erdszelem10  35181  cvmliftlem15  35279  bcprod  35719  ptrecube  37608  poimirlem25  37633  poimirlem26  37634  poimirlem27  37635  poimirlem28  37636  poimirlem29  37637  poimirlem30  37638  poimirlem31  37639  poimirlem32  37640  mblfinlem2  37646  volsupnfl  37653  itg2addnclem2  37660  nnubfi  37738  nninfnub  37739  cntotbnd  37784  lcmfunnnd  41994  lcmineqlem4  42014  lcmineqlem6  42016  lcmineqlem15  42025  lcmineqlem16  42026  lcmineqlem19  42029  lcmineqlem20  42030  lcmineqlem21  42031  lcmineqlem22  42032  sticksstones17  42145  fisdomnn  42226  fz1sumconst  42291  eldioph2lem1  42742  eldioph2lem2  42743  eldioph2  42744  pellexlem5  42815  pellex  42817  jm2.22  42978  jm2.23  42979  hbt  43113  rp-isfinite6  43501  fzisoeu  45292  sumnnodd  45622  stoweidlem37  46029  stoweidlem44  46036  stoweidlem59  46051  fourierdlem37  46136  fourierdlem103  46201  fourierdlem104  46202  etransclem16  46242  etransclem24  46250  etransclem25  46251  etransclem33  46259  etransclem35  46261  etransclem44  46270  etransclem45  46271  sge0reuz  46439  hoidmvlelem2  46588  aacllem  49784