Theorem fzfi 13879

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8967	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13441	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9130	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4189	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13878	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7222	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9100	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ∩ cin 3902  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621  Oncon0 6307  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799  reccrdg 8331   ≈ cen 8869  Fincfn 8872  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  fzfid  13880  fzofi  13881  fsequb  13882  fsequb2  13883  fseqsupcl  13884  ssnn0fi  13892  seqf1o  13950  isfinite4  14269  hashdom  14286  fzsdom2  14335  fnfz0hashnn0  14355  seqcoll2  14372  caubnd  15266  limsupgre  15388  summolem3  15621  summolem2  15623  zsum  15625  prodmolem3  15840  prodmolem2  15842  zprod  15844  risefallfac  15931  bpolylem  15955  phicl2  16679  phibnd  16682  hashdvds  16686  phiprmpw  16687  eulerth  16694  pcfac  16811  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmrec  16834  1arith  16839  vdwlem6  16898  vdwlem10  16902  vdwlem12  16904  prmdvdsprmo  16954  prmgaplcmlem1  16963  prmgaplcm  16972  isstruct2  17060  gsumval3lem1  19784  gsumval3lem2  19785  gsumval3  19786  coe1mul2  22153  ehleudis  25316  ehleudisval  25317  ovoliunlem2  25402  uniioombllem6  25487  itg0  25679  itgz  25680  coemullem  26153  aannenlem1  26234  aannenlem2  26235  birthdaylem1  26859  birthdaylem2  26860  wilthlem2  26977  wilthlem3  26978  ftalem5  26985  ppifi  27014  prmdvdsfi  27015  chtdif  27066  ppidif  27071  chp1  27075  ppiltx  27085  prmorcht  27086  mumul  27089  sqff1o  27090  ppiub  27113  pclogsum  27124  logexprlim  27134  gausslemma2dlem1  27275  gausslemma2dlem5  27280  gausslemma2dlem6  27281  lgseisenlem2  27285  axlowdimlem16  28906  konigsberglem5  30204  pmtrto1cl  33050  psgnfzto1stlem  33051  fzto1st  33054  psgnfzto1st  33056  smatcl  33785  1smat1  33787  esumpcvgval  34061  esumcvg  34069  carsggect  34302  carsgclctunlem2  34303  oddpwdc  34338  eulerpartlemb  34352  ballotlem1  34471  ballotlem2  34473  ballotlemfelz  34475  ballotlemfp1  34476  ballotlemfc0  34477  ballotlemfcc  34478  ballotlemfmpn  34479  ballotlemiex  34486  ballotlemsup  34489  ballotlemfg  34510  ballotlemfrc  34511  ballotlemfrceq  34513  ballotth  34522  plymulx0  34531  fsum2dsub  34591  reprfi2  34607  breprexpnat  34618  hgt750lemb  34640  hgt750leme  34642  pthhashvtx  35121  subfacf  35168  subfacp1lem1  35172  subfacp1lem3  35175  subfacp1lem5  35177  subfacp1lem6  35178  erdszelem2  35185  erdszelem10  35193  cvmliftlem15  35291  bcprod  35731  ptrecube  37620  poimirlem25  37645  poimirlem26  37646  poimirlem27  37647  poimirlem28  37648  poimirlem29  37649  poimirlem30  37650  poimirlem31  37651  poimirlem32  37652  mblfinlem2  37658  volsupnfl  37665  itg2addnclem2  37672  nnubfi  37750  nninfnub  37751  cntotbnd  37796  lcmfunnnd  42005  lcmineqlem4  42025  lcmineqlem6  42027  lcmineqlem15  42036  lcmineqlem16  42037  lcmineqlem19  42040  lcmineqlem20  42041  lcmineqlem21  42042  lcmineqlem22  42043  sticksstones17  42156  fisdomnn  42237  fz1sumconst  42302  eldioph2lem1  42753  eldioph2lem2  42754  eldioph2  42755  pellexlem5  42826  pellex  42828  jm2.22  42988  jm2.23  42989  hbt  43123  rp-isfinite6  43511  fzisoeu  45302  sumnnodd  45631  stoweidlem37  46038  stoweidlem44  46045  stoweidlem59  46060  fourierdlem37  46145  fourierdlem103  46210  fourierdlem104  46211  etransclem16  46251  etransclem24  46259  etransclem25  46260  etransclem33  46268  etransclem35  46270  etransclem44  46279  etransclem45  46280  sge0reuz  46448  hoidmvlelem2  46597  aacllem  49806