Theorem fzfi 14083

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9048	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2848	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13639	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9210	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4182	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3976	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 14082	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7281	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3928	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 14080	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9179	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3038	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∩ cin 3897  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649  Oncon0 6351  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860  reccrdg 8395   ≈ cen 8948  Fincfn 8951  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   − cmin 11512  ℕ₀cn0 12575  ℤ_≥cuz 12934  ...cfz 13608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609

This theorem is used by:  fzfid  14084  fzofi  14085  fsequb  14086  fsequb2  14087  fseqsupcl  14088  ssnn0fi  14096  seqf1o  14154  isfinite4  14473  hashdom  14490  fzsdom2  14540  fnfz0hashnn0  14560  seqcoll2  14577  caubnd  15493  limsupgre  15615  summolem3  15847  summolem2  15849  zsum  15851  prodmolem3  16067  prodmolem2  16069  zprod  16071  risefallfac  16158  bpolylem  16181  phicl2  16906  phibnd  16909  hashdvds  16913  phiprmpw  16914  eulerth  16921  pcfac  17038  prmreclem2  17056  prmreclem3  17057  prmreclem4  17058  prmreclem5  17059  prmrec  17061  1arith  17066  vdwlem6  17125  vdwlem10  17129  vdwlem12  17131  prmdvdsprmo  17181  prmgaplcmlem1  17190  prmgaplcm  17199  isstruct2  17288  gsumval3lem1  20080  gsumval3lem2  20081  gsumval3  20082  coe1mul2  22549  ehleudis  25700  ehleudisval  25701  ovoliunlem2  25785  uniioombllem6  25870  itg0  26061  itgz  26062  coemullem  26530  plyn0mulidp  26565  aannenlem1  26618  aannenlem2  26619  birthdaylem1  27242  birthdaylem2  27243  wilthlem2  27359  wilthlem3  27360  ftalem5  27367  ppifi  27396  prmdvdsfi  27397  chtdif  27448  ppidif  27453  chp1  27457  ppiltx  27467  prmorcht  27468  mumul  27471  sqff1o  27472  ppiub  27494  pclogsum  27505  logexprlim  27515  gausslemma2dlem1  27656  gausslemma2dlem5  27661  gausslemma2dlem6  27662  lgseisenlem2  27666  axlowdimlem16  29468  pthhashvtx  30248  konigsberglem5  30790  pmtrto1cl  33593  psgnfzto1stlem  33594  fzto1st  33597  psgnfzto1st  33599  smatcl  34367  1smat1  34369  esumpcvgval  34643  esumcvg  34651  carsggect  34884  carsgclctunlem2  34885  oddpwdc  34920  eulerpartlemb  34934  ballotlem1  35053  ballotlem2  35055  ballotlemfelz  35057  ballotlemfp1  35058  ballotlemfc0  35059  ballotlemfcc  35060  ballotlemfmpn  35061  ballotlemiex  35068  ballotlemsup  35071  ballotlemfg  35092  ballotlemfrc  35093  ballotlemfrceq  35095  ballotth  35104  fsum2dsub  35170  reprfi2  35186  breprexpnat  35197  hgt750lemb  35219  hgt750leme  35221  subfacf  35861  subfacp1lem1  35865  subfacp1lem3  35868  subfacp1lem5  35870  subfacp1lem6  35871  erdszelem2  35878  erdszelem10  35886  cvmliftlem15  35984  bcprod  36424  ptrecube  38458  poimirlem25  38483  poimirlem26  38484  poimirlem27  38485  poimirlem28  38486  poimirlem29  38487  poimirlem30  38488  poimirlem31  38489  poimirlem32  38490  mblfinlem2  38496  volsupnfl  38503  itg2addnclem2  38510  nnubfi  38604  nninfnub  38605  cntotbnd  38650  lcmfunnnd  42982  lcmineqlem4  43002  lcmineqlem6  43004  lcmineqlem15  43013  lcmineqlem16  43014  lcmineqlem19  43017  lcmineqlem20  43018  lcmineqlem21  43019  lcmineqlem22  43020  sticksstones17  43133  fisdomnn  43215  fz1sumconst  43288  eldioph2lem1  43709  eldioph2lem2  43710  eldioph2  43711  pellexlem5  43778  pellex  43780  jm2.22  43940  jm2.23  43941  hbt  44075  rp-isfinite6  44462  fzisoeu  46237  sumnnodd  46564  stoweidlem37  46969  stoweidlem44  46976  stoweidlem59  46991  fourierdlem37  47076  fourierdlem103  47141  fourierdlem104  47142  etransclem16  47182  etransclem24  47190  etransclem25  47191  etransclem33  47199  etransclem35  47201  etransclem44  47210  etransclem45  47211  sge0reuz  47379  hoidmvlelem2  47528  aacllem  50861  veronesematbasd  50902  veroquadmodzerod  50906  veroquadnolindfd  50907  veroquaddetzerod  50908