Theorem fzfi 13913

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8990	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13475	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9157	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4197	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3990	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13912	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7242	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3941	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13910	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9127	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∩ cin 3910  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633  Oncon0 6320  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822  reccrdg 8354   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  fzfid  13914  fzofi  13915  fsequb  13916  fsequb2  13917  fseqsupcl  13918  ssnn0fi  13926  seqf1o  13984  isfinite4  14303  hashdom  14320  fzsdom2  14369  fnfz0hashnn0  14389  seqcoll2  14406  caubnd  15301  limsupgre  15423  summolem3  15656  summolem2  15658  zsum  15660  prodmolem3  15875  prodmolem2  15877  zprod  15879  risefallfac  15966  bpolylem  15990  phicl2  16714  phibnd  16717  hashdvds  16721  phiprmpw  16722  eulerth  16729  pcfac  16846  prmreclem2  16864  prmreclem3  16865  prmreclem4  16866  prmreclem5  16867  prmrec  16869  1arith  16874  vdwlem6  16933  vdwlem10  16937  vdwlem12  16939  prmdvdsprmo  16989  prmgaplcmlem1  16998  prmgaplcm  17007  isstruct2  17095  gsumval3lem1  19819  gsumval3lem2  19820  gsumval3  19821  coe1mul2  22188  ehleudis  25351  ehleudisval  25352  ovoliunlem2  25437  uniioombllem6  25522  itg0  25714  itgz  25715  coemullem  26188  aannenlem1  26269  aannenlem2  26270  birthdaylem1  26894  birthdaylem2  26895  wilthlem2  27012  wilthlem3  27013  ftalem5  27020  ppifi  27049  prmdvdsfi  27050  chtdif  27101  ppidif  27106  chp1  27110  ppiltx  27120  prmorcht  27121  mumul  27124  sqff1o  27125  ppiub  27148  pclogsum  27159  logexprlim  27169  gausslemma2dlem1  27310  gausslemma2dlem5  27315  gausslemma2dlem6  27316  lgseisenlem2  27320  axlowdimlem16  28937  konigsberglem5  30235  pmtrto1cl  33071  psgnfzto1stlem  33072  fzto1st  33075  psgnfzto1st  33077  smatcl  33785  1smat1  33787  esumpcvgval  34061  esumcvg  34069  carsggect  34302  carsgclctunlem2  34303  oddpwdc  34338  eulerpartlemb  34352  ballotlem1  34471  ballotlem2  34473  ballotlemfelz  34475  ballotlemfp1  34476  ballotlemfc0  34477  ballotlemfcc  34478  ballotlemfmpn  34479  ballotlemiex  34486  ballotlemsup  34489  ballotlemfg  34510  ballotlemfrc  34511  ballotlemfrceq  34513  ballotth  34522  plymulx0  34531  fsum2dsub  34591  reprfi2  34607  breprexpnat  34618  hgt750lemb  34640  hgt750leme  34642  pthhashvtx  35108  subfacf  35155  subfacp1lem1  35159  subfacp1lem3  35162  subfacp1lem5  35164  subfacp1lem6  35165  erdszelem2  35172  erdszelem10  35180  cvmliftlem15  35278  bcprod  35718  ptrecube  37607  poimirlem25  37632  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem28  37635  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mblfinlem2  37645  volsupnfl  37652  itg2addnclem2  37659  nnubfi  37737  nninfnub  37738  cntotbnd  37783  lcmfunnnd  41993  lcmineqlem4  42013  lcmineqlem6  42015  lcmineqlem15  42024  lcmineqlem16  42025  lcmineqlem19  42028  lcmineqlem20  42029  lcmineqlem21  42030  lcmineqlem22  42031  sticksstones17  42144  fisdomnn  42225  fz1sumconst  42290  eldioph2lem1  42741  eldioph2lem2  42742  eldioph2  42743  pellexlem5  42814  pellex  42816  jm2.22  42977  jm2.23  42978  hbt  43112  rp-isfinite6  43500  fzisoeu  45291  sumnnodd  45621  stoweidlem37  46028  stoweidlem44  46035  stoweidlem59  46050  fourierdlem37  46135  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  etransclem16  46241  etransclem24  46249  etransclem25  46250  etransclem33  46258  etransclem35  46260  etransclem44  46269  etransclem45  46270  sge0reuz  46438  hoidmvlelem2  46587  aacllem  49783