Theorem fzfi 13335

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8730	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2877	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 12916	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 8695	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4156	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3949	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13334	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7019	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sseldi 3913	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13332	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 8719	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3070	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521  Oncon0 6159  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  fzfid  13336  fzofi  13337  fsequb  13338  fsequb2  13339  fseqsupcl  13340  ssnn0fi  13348  seqf1o  13407  isfinite4  13719  hashdom  13736  fzsdom2  13785  fnfz0hashnn0  13802  seqcoll2  13819  caubnd  14710  limsupgre  14830  summolem3  15063  summolem2  15065  zsum  15067  prodmolem3  15279  prodmolem2  15281  zprod  15283  risefallfac  15370  bpolylem  15394  phicl2  16095  phibnd  16098  hashdvds  16102  phiprmpw  16103  eulerth  16110  phisum  16117  pcfac  16225  prmreclem2  16243  prmreclem3  16244  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  prmrec  16248  1arith  16253  vdwlem6  16312  vdwlem10  16316  vdwlem12  16318  prmdvdsprmo  16368  prmgaplcmlem1  16377  prmgaplcm  16386  isstruct2  16485  gsumval3lem1  19018  gsumval3lem2  19019  gsumval3  19020  coe1mul2  20898  ehleudis  24022  ehleudisval  24023  ovoliunlem2  24107  uniioombllem6  24192  itg0  24383  itgz  24384  coemullem  24847  aannenlem1  24924  aannenlem2  24925  birthdaylem1  25537  birthdaylem2  25538  wilthlem2  25654  wilthlem3  25655  ftalem5  25662  ppifi  25691  prmdvdsfi  25692  chtdif  25743  ppidif  25748  chp1  25752  ppiltx  25762  prmorcht  25763  mumul  25766  sqff1o  25767  ppiub  25788  pclogsum  25799  logexprlim  25809  gausslemma2dlem1  25950  gausslemma2dlem5  25955  gausslemma2dlem6  25956  lgseisenlem2  25960  axlowdimlem16  26751  konigsberglem5  28041  pmtrto1cl  30791  psgnfzto1stlem  30792  fzto1st  30795  psgnfzto1st  30797  smatcl  31155  1smat1  31157  esumpcvgval  31447  esumcvg  31455  carsggect  31686  carsgclctunlem2  31687  oddpwdc  31722  eulerpartlemb  31736  ballotlem1  31854  ballotlem2  31856  ballotlemfelz  31858  ballotlemfp1  31859  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlemfmpn  31862  ballotlemiex  31869  ballotlemsup  31872  ballotlemfg  31893  ballotlemfrc  31894  ballotlemfrceq  31896  ballotth  31905  plymulx0  31927  fsum2dsub  31988  reprfi2  32004  breprexpnat  32015  hgt750lemb  32037  hgt750leme  32039  pthhashvtx  32487  subfacf  32535  subfacp1lem1  32539  subfacp1lem3  32542  subfacp1lem5  32544  subfacp1lem6  32545  erdszelem2  32552  erdszelem10  32560  cvmliftlem15  32658  bcprod  33083  ptrecube  35057  poimirlem25  35082  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  poimirlem28  35085  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089  mblfinlem2  35095  volsupnfl  35102  itg2addnclem2  35109  nnubfi  35188  nninfnub  35189  cntotbnd  35234  lcmfunnnd  39300  lcmineqlem4  39320  lcmineqlem6  39322  lcmineqlem15  39331  lcmineqlem16  39332  lcmineqlem19  39335  lcmineqlem20  39336  lcmineqlem21  39337  lcmineqlem22  39338  eldioph2lem1  39701  eldioph2lem2  39702  eldioph2  39703  pellexlem5  39774  pellex  39776  jm2.22  39936  jm2.23  39937  hbt  40074  rp-isfinite6  40226  fzisoeu  41932  sumnnodd  42272  stoweidlem37  42679  stoweidlem44  42686  stoweidlem59  42701  fourierdlem37  42786  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  etransclem16  42892  etransclem24  42900  etransclem25  42901  etransclem33  42909  etransclem35  42911  etransclem44  42920  etransclem45  42921  sge0reuz  43086  hoidmvlelem2  43235  aacllem  45329