Theorem fzfi 14038

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9052	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2850	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13594	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9214	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4186	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3980	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 14037	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7289	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 14035	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9183	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3040	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661  Oncon0 6361  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ωcom 7865  reccrdg 8401   ≈ cen 8952  Fincfn 8955  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564

This theorem is used by:  fzfid  14039  fzofi  14040  fsequb  14041  fsequb2  14042  fseqsupcl  14043  ssnn0fi  14051  seqf1o  14109  isfinite4  14428  hashdom  14445  fzsdom2  14495  fnfz0hashnn0  14515  seqcoll2  14532  caubnd  15448  limsupgre  15570  summolem3  15802  summolem2  15804  zsum  15806  prodmolem3  16024  prodmolem2  16026  zprod  16028  risefallfac  16115  bpolylem  16138  phicl2  16863  phibnd  16866  hashdvds  16870  phiprmpw  16871  eulerth  16878  pcfac  16995  prmreclem2  17013  prmreclem3  17014  prmreclem4  17015  prmreclem5  17016  prmrec  17018  1arith  17023  vdwlem6  17082  vdwlem10  17086  vdwlem12  17088  prmdvdsprmo  17138  prmgaplcmlem1  17147  prmgaplcm  17156  isstruct2  17245  gsumval3lem1  20033  gsumval3lem2  20034  gsumval3  20035  coe1mul2  22496  ehleudis  25647  ehleudisval  25648  ovoliunlem2  25732  uniioombllem6  25817  itg0  26009  itgz  26010  coemullem  26477  plyn0mulidp  26512  aannenlem1  26561  aannenlem2  26562  birthdaylem1  27186  birthdaylem2  27187  wilthlem2  27303  wilthlem3  27304  ftalem5  27311  ppifi  27340  prmdvdsfi  27341  chtdif  27392  ppidif  27397  chp1  27401  ppiltx  27411  prmorcht  27412  mumul  27415  sqff1o  27416  ppiub  27438  pclogsum  27449  logexprlim  27459  gausslemma2dlem1  27600  gausslemma2dlem5  27605  gausslemma2dlem6  27606  lgseisenlem2  27610  axlowdimlem16  29400  pthhashvtx  30180  konigsberglem5  30722  pmtrto1cl  33526  psgnfzto1stlem  33527  fzto1st  33530  psgnfzto1st  33532  smatcl  34299  1smat1  34301  esumpcvgval  34575  esumcvg  34583  carsggect  34816  carsgclctunlem2  34817  oddpwdc  34852  eulerpartlemb  34866  ballotlem1  34985  ballotlem2  34987  ballotlemfelz  34989  ballotlemfp1  34990  ballotlemfc0  34991  ballotlemfcc  34992  ballotlemfmpn  34993  ballotlemiex  35000  ballotlemsup  35003  ballotlemfg  35024  ballotlemfrc  35025  ballotlemfrceq  35027  ballotth  35036  fsum2dsub  35102  reprfi2  35118  breprexpnat  35129  hgt750lemb  35151  hgt750leme  35153  subfacf  35741  subfacp1lem1  35745  subfacp1lem3  35748  subfacp1lem5  35750  subfacp1lem6  35751  erdszelem2  35758  erdszelem10  35766  cvmliftlem15  35864  bcprod  36304  ptrecube  38356  poimirlem25  38381  poimirlem26  38382  poimirlem27  38383  poimirlem28  38384  poimirlem29  38385  poimirlem30  38386  poimirlem31  38387  poimirlem32  38388  mblfinlem2  38394  volsupnfl  38401  itg2addnclem2  38408  nnubfi  38487  nninfnub  38488  cntotbnd  38533  lcmfunnnd  42865  lcmineqlem4  42885  lcmineqlem6  42887  lcmineqlem15  42896  lcmineqlem16  42897  lcmineqlem19  42900  lcmineqlem20  42901  lcmineqlem21  42902  lcmineqlem22  42903  sticksstones17  43016  fisdomnn  43098  fz1sumconst  43171  eldioph2lem1  43592  eldioph2lem2  43593  eldioph2  43594  pellexlem5  43661  pellex  43663  jm2.22  43823  jm2.23  43824  hbt  43958  rp-isfinite6  44345  fzisoeu  46120  sumnnodd  46447  stoweidlem37  46852  stoweidlem44  46859  stoweidlem59  46874  fourierdlem37  46959  fourierdlem103  47024  fourierdlem104  47025  etransclem16  47065  etransclem24  47073  etransclem25  47074  etransclem33  47082  etransclem35  47084  etransclem44  47093  etransclem45  47094  sge0reuz  47262  hoidmvlelem2  47411  aacllem  50759  veronesematbasd  50800  veroquadmodzerod  50804  veroquadnolindfd  50805  veroquaddetzerod  50806