Theorem fzfi 13897

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8981	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2823	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13456	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9143	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4189	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3979	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 13896	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7231	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3930	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 13894	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9112	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3014	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  Vcvv 3439   ∩ cin 3899  ∅c0 4284   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625  Oncon0 6316  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8340   ≈ cen 8882  Fincfn 8885  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11366  ℕ₀cn0 12403  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426

This theorem is referenced by:  fzfid  13898  fzofi  13899  fsequb  13900  fsequb2  13901  fseqsupcl  13902  ssnn0fi  13910  seqf1o  13968  isfinite4  14287  hashdom  14304  fzsdom2  14353  fnfz0hashnn0  14373  seqcoll2  14390  caubnd  15284  limsupgre  15406  summolem3  15639  summolem2  15641  zsum  15643  prodmolem3  15858  prodmolem2  15860  zprod  15862  risefallfac  15949  bpolylem  15973  phicl2  16697  phibnd  16700  hashdvds  16704  phiprmpw  16705  eulerth  16712  pcfac  16829  prmreclem2  16847  prmreclem3  16848  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  prmrec  16852  1arith  16857  vdwlem6  16916  vdwlem10  16920  vdwlem12  16922  prmdvdsprmo  16972  prmgaplcmlem1  16981  prmgaplcm  16990  isstruct2  17078  gsumval3lem1  19836  gsumval3lem2  19837  gsumval3  19838  coe1mul2  22213  ehleudis  25376  ehleudisval  25377  ovoliunlem2  25462  uniioombllem6  25547  itg0  25739  itgz  25740  coemullem  26213  aannenlem1  26294  aannenlem2  26295  birthdaylem1  26919  birthdaylem2  26920  wilthlem2  27037  wilthlem3  27038  ftalem5  27045  ppifi  27074  prmdvdsfi  27075  chtdif  27126  ppidif  27131  chp1  27135  ppiltx  27145  prmorcht  27146  mumul  27149  sqff1o  27150  ppiub  27173  pclogsum  27184  logexprlim  27194  gausslemma2dlem1  27335  gausslemma2dlem5  27340  gausslemma2dlem6  27341  lgseisenlem2  27345  axlowdimlem16  29011  konigsberglem5  30312  pmtrto1cl  33160  psgnfzto1stlem  33161  fzto1st  33164  psgnfzto1st  33166  smatcl  33938  1smat1  33940  esumpcvgval  34214  esumcvg  34222  carsggect  34454  carsgclctunlem2  34455  oddpwdc  34490  eulerpartlemb  34504  ballotlem1  34623  ballotlem2  34625  ballotlemfelz  34627  ballotlemfp1  34628  ballotlemfc0  34629  ballotlemfcc  34630  ballotlemfmpn  34631  ballotlemiex  34638  ballotlemsup  34641  ballotlemfg  34662  ballotlemfrc  34663  ballotlemfrceq  34665  ballotth  34674  plymulx0  34683  fsum2dsub  34743  reprfi2  34759  breprexpnat  34770  hgt750lemb  34792  hgt750leme  34794  pthhashvtx  35301  subfacf  35348  subfacp1lem1  35352  subfacp1lem3  35355  subfacp1lem5  35357  subfacp1lem6  35358  erdszelem2  35365  erdszelem10  35373  cvmliftlem15  35471  bcprod  35911  ptrecube  37790  poimirlem25  37815  poimirlem26  37816  poimirlem27  37817  poimirlem28  37818  poimirlem29  37819  poimirlem30  37820  poimirlem31  37821  poimirlem32  37822  mblfinlem2  37828  volsupnfl  37835  itg2addnclem2  37842  nnubfi  37920  nninfnub  37921  cntotbnd  37966  lcmfunnnd  42301  lcmineqlem4  42321  lcmineqlem6  42323  lcmineqlem15  42332  lcmineqlem16  42333  lcmineqlem19  42336  lcmineqlem20  42337  lcmineqlem21  42338  lcmineqlem22  42339  sticksstones17  42452  fisdomnn  42536  fz1sumconst  42601  eldioph2lem1  43039  eldioph2lem2  43040  eldioph2  43041  pellexlem5  43112  pellex  43114  jm2.22  43274  jm2.23  43275  hbt  43409  rp-isfinite6  43796  fzisoeu  45585  sumnnodd  45913  stoweidlem37  46318  stoweidlem44  46325  stoweidlem59  46340  fourierdlem37  46425  fourierdlem103  46490  fourierdlem104  46491  etransclem16  46531  etransclem24  46539  etransclem25  46540  etransclem33  46548  etransclem35  46550  etransclem44  46559  etransclem45  46560  sge0reuz  46728  hoidmvlelem2  46877  aacllem  50083