Theorem fzfi 14009

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9080	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2826	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13574	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9265	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4245	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 4029	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 14008	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7304	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3992	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 14006	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9223	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3022	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477   ∩ cin 3961  ∅c0 4338   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687   ↾ cres 5690  Oncon0 6385  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  reccrdg 8447   ≈ cen 8980  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   − cmin 11489  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544

This theorem is referenced by:  fzfid  14010  fzofi  14011  fsequb  14012  fsequb2  14013  fseqsupcl  14014  ssnn0fi  14022  seqf1o  14080  isfinite4  14397  hashdom  14414  fzsdom2  14463  fnfz0hashnn0  14483  seqcoll2  14500  caubnd  15393  limsupgre  15513  summolem3  15746  summolem2  15748  zsum  15750  prodmolem3  15965  prodmolem2  15967  zprod  15969  risefallfac  16056  bpolylem  16080  phicl2  16801  phibnd  16804  hashdvds  16808  phiprmpw  16809  eulerth  16816  phisum  16823  pcfac  16932  prmreclem2  16950  prmreclem3  16951  prmreclem4  16952  prmreclem5  16953  prmrec  16955  1arith  16960  vdwlem6  17019  vdwlem10  17023  vdwlem12  17025  prmdvdsprmo  17075  prmgaplcmlem1  17084  prmgaplcm  17093  isstruct2  17182  gsumval3lem1  19937  gsumval3lem2  19938  gsumval3  19939  coe1mul2  22287  ehleudis  25465  ehleudisval  25466  ovoliunlem2  25551  uniioombllem6  25636  itg0  25829  itgz  25830  coemullem  26303  aannenlem1  26384  aannenlem2  26385  birthdaylem1  27008  birthdaylem2  27009  wilthlem2  27126  wilthlem3  27127  ftalem5  27134  ppifi  27163  prmdvdsfi  27164  chtdif  27215  ppidif  27220  chp1  27224  ppiltx  27234  prmorcht  27235  mumul  27238  sqff1o  27239  ppiub  27262  pclogsum  27273  logexprlim  27283  gausslemma2dlem1  27424  gausslemma2dlem5  27429  gausslemma2dlem6  27430  lgseisenlem2  27434  axlowdimlem16  28986  konigsberglem5  30284  pmtrto1cl  33101  psgnfzto1stlem  33102  fzto1st  33105  psgnfzto1st  33107  smatcl  33762  1smat1  33764  esumpcvgval  34058  esumcvg  34066  carsggect  34299  carsgclctunlem2  34300  oddpwdc  34335  eulerpartlemb  34349  ballotlem1  34467  ballotlem2  34469  ballotlemfelz  34471  ballotlemfp1  34472  ballotlemfc0  34473  ballotlemfcc  34474  ballotlemfmpn  34475  ballotlemiex  34482  ballotlemsup  34485  ballotlemfg  34506  ballotlemfrc  34507  ballotlemfrceq  34509  ballotth  34518  plymulx0  34540  fsum2dsub  34600  reprfi2  34616  breprexpnat  34627  hgt750lemb  34649  hgt750leme  34651  pthhashvtx  35111  subfacf  35159  subfacp1lem1  35163  subfacp1lem3  35166  subfacp1lem5  35168  subfacp1lem6  35169  erdszelem2  35176  erdszelem10  35184  cvmliftlem15  35282  bcprod  35717  ptrecube  37606  poimirlem25  37631  poimirlem26  37632  poimirlem27  37633  poimirlem28  37634  poimirlem29  37635  poimirlem30  37636  poimirlem31  37637  poimirlem32  37638  mblfinlem2  37644  volsupnfl  37651  itg2addnclem2  37658  nnubfi  37736  nninfnub  37737  cntotbnd  37782  lcmfunnnd  41993  lcmineqlem4  42013  lcmineqlem6  42015  lcmineqlem15  42024  lcmineqlem16  42025  lcmineqlem19  42028  lcmineqlem20  42029  lcmineqlem21  42030  lcmineqlem22  42031  sticksstones17  42144  fisdomnn  42263  fz1sumconst  42321  eldioph2lem1  42747  eldioph2lem2  42748  eldioph2  42749  pellexlem5  42820  pellex  42822  jm2.22  42983  jm2.23  42984  hbt  43118  rp-isfinite6  43507  fzisoeu  45250  sumnnodd  45585  stoweidlem37  45992  stoweidlem44  45999  stoweidlem59  46014  fourierdlem37  46099  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  etransclem16  46205  etransclem24  46213  etransclem25  46214  etransclem33  46222  etransclem35  46224  etransclem44  46233  etransclem45  46234  sge0reuz  46402  hoidmvlelem2  46551  aacllem  49031