Theorem fzfi 14015

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9037	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2850	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4		fzn0 13572	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		onfin2 9199	. . . . . 6 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4189	. . . . . 6 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ Fin
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
9	8	hashgf1o 14014	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10		peano2uz 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		uznn0sub 12903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13		f1ocnvdm 7283	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
15	7, 14	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
16	8	fzen2 14012	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17		enfii 9168	. . . 4 ⊢ (((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19	4, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20	3, 19	pm2.61ine 3040	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∩ cin 3903  ∅c0 4285   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662  Oncon0 6360  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860  reccrdg 8394   ≈ cen 8938  Fincfn 8941  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11447  ℕ₀cn0 12510  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542

This theorem is used by:  fzfid  14016  fzofi  14017  fsequb  14018  fsequb2  14019  fseqsupcl  14020  ssnn0fi  14028  seqf1o  14086  isfinite4  14405  hashdom  14422  fzsdom2  14472  fnfz0hashnn0  14492  seqcoll2  14509  caubnd  15417  limsupgre  15539  summolem3  15772  summolem2  15774  zsum  15776  prodmolem3  15994  prodmolem2  15996  zprod  15998  risefallfac  16085  bpolylem  16108  phicl2  16833  phibnd  16836  hashdvds  16840  phiprmpw  16841  eulerth  16848  pcfac  16965  prmreclem2  16983  prmreclem3  16984  prmreclem4  16985  prmreclem5  16986  prmrec  16988  1arith  16993  vdwlem6  17052  vdwlem10  17056  vdwlem12  17058  prmdvdsprmo  17108  prmgaplcmlem1  17117  prmgaplcm  17126  isstruct2  17215  gsumval3lem1  19981  gsumval3lem2  19982  gsumval3  19983  coe1mul2  22441  ehleudis  25588  ehleudisval  25589  ovoliunlem2  25673  uniioombllem6  25758  itg0  25950  itgz  25951  coemullem  26418  plyn0mulidp  26453  aannenlem1  26502  aannenlem2  26503  birthdaylem1  27127  birthdaylem2  27128  wilthlem2  27244  wilthlem3  27245  ftalem5  27252  ppifi  27281  prmdvdsfi  27282  chtdif  27333  ppidif  27338  chp1  27342  ppiltx  27352  prmorcht  27353  mumul  27356  sqff1o  27357  ppiub  27379  pclogsum  27390  logexprlim  27400  gausslemma2dlem1  27541  gausslemma2dlem5  27546  gausslemma2dlem6  27547  lgseisenlem2  27551  axlowdimlem16  29318  konigsberglem5  30618  pmtrto1cl  33428  psgnfzto1stlem  33429  fzto1st  33432  psgnfzto1st  33434  smatcl  34201  1smat1  34203  esumpcvgval  34477  esumcvg  34485  carsggect  34717  carsgclctunlem2  34718  oddpwdc  34753  eulerpartlemb  34767  ballotlem1  34886  ballotlem2  34888  ballotlemfelz  34890  ballotlemfp1  34891  ballotlemfc0  34892  ballotlemfcc  34893  ballotlemfmpn  34894  ballotlemiex  34901  ballotlemsup  34904  ballotlemfg  34925  ballotlemfrc  34926  ballotlemfrceq  34928  ballotth  34937  fsum2dsub  35003  reprfi2  35019  breprexpnat  35030  hgt750lemb  35052  hgt750leme  35054  pthhashvtx  35628  subfacf  35675  subfacp1lem1  35679  subfacp1lem3  35682  subfacp1lem5  35684  subfacp1lem6  35685  erdszelem2  35692  erdszelem10  35700  cvmliftlem15  35798  bcprod  36238  ptrecube  38299  poimirlem25  38324  poimirlem26  38325  poimirlem27  38326  poimirlem28  38327  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem31  38330  poimirlem32  38331  mblfinlem2  38337  volsupnfl  38344  itg2addnclem2  38351  nnubfi  38429  nninfnub  38430  cntotbnd  38475  lcmfunnnd  42807  lcmineqlem4  42827  lcmineqlem6  42829  lcmineqlem15  42838  lcmineqlem16  42839  lcmineqlem19  42842  lcmineqlem20  42843  lcmineqlem21  42844  lcmineqlem22  42845  sticksstones17  42958  fisdomnn  43040  fz1sumconst  43098  eldioph2lem1  43519  eldioph2lem2  43520  eldioph2  43521  pellexlem5  43588  pellex  43590  jm2.22  43750  jm2.23  43751  hbt  43885  rp-isfinite6  44272  fzisoeu  46047  sumnnodd  46374  stoweidlem37  46779  stoweidlem44  46786  stoweidlem59  46801  fourierdlem37  46886  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  etransclem16  46992  etransclem24  47000  etransclem25  47001  etransclem33  47009  etransclem35  47011  etransclem44  47020  etransclem45  47021  sge0reuz  47189  hoidmvlelem2  47338  aacllem  50649