Theorem fseqsupcl 13987

Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6695	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fzfi 13982	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4		ffn 6687	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
5	4	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6		dffn4 6780	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
7	5, 6	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
8		fofi 9253	. . . 4 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10		fdm 6697	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
11	10	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12		fzn0 13540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12	biranri 509	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
14	11, 13	eqnetrd 3023	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 ≠ ∅)
15		dm0rn0 5898	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
16	15	necon3bii 3008	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
17	14, 16	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
18		ltso 11260	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
19		fisupcl 9413	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
20	18, 19	mpan 700	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
21	9, 17, 2, 20	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
22	2, 21	sseldd 3937	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   Or wor 5552  dom cdm 5645  ran crn 5646   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  –onto→wfo 6515  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  supcsup 9383  ℝcr 11069   < clt 11213  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by: (None)