MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fseqsupcl 13984
Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fseqsupcl ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl
StepHypRef Expression
1 frn 6734 . . 3 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
21adantl 480 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
3 fzfi 13979 . . . 4 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4 ffn 6727 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
54adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6 dffn4 6822 . . . . 5 (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹)
75, 6sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹)
8 fofi 9372 . . . 4 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 585 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
10 fdm 6736 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 fzn0 13557 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) β‰  βˆ… ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1412, 13sylibr 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ (𝑀...𝑁) β‰  βˆ…)
1511, 14eqnetrd 3005 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
16 dm0rn0 5931 . . . . 5 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
1716necon3bii 2990 . . . 4 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
1815, 17sylib 217 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
19 ltso 11334 . . . 4 < Or ℝ
20 fisupcl 9502 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ)) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
2119, 20mpan 688 . . 3 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
229, 18, 2, 21syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
232, 22sseldd 3983 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326   Or wor 5593  dom cdm 5682  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  supcsup 9473  β„cr 11147   < clt 11288  β„€β‰₯cuz 12862  ...cfz 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator