Theorem fseqsupcl 13886

Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6663	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fzfi 13881	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4		ffn 6656	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6		dffn4 6746	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
8		fofi 9204	. . . 4 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10		fdm 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		fzn0 13440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	12, 13	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
15	11, 14	eqnetrd 2996	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 ≠ ∅)
16		dm0rn0 5868	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
17	16	necon3bii 2981	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
18	15, 17	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
19		ltso 11200	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
20		fisupcl 9361	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
21	19, 20	mpan 690	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
22	9, 18, 2, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
23	2, 22	sseldd 3931	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   Or wor 5526  dom cdm 5619  ran crn 5620   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  supcsup 9331  ℝcr 11012   < clt 11153  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410

This theorem is referenced by: (None)