Theorem fseqsupcl 14018

Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6743	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fzfi 14013	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4		ffn 6736	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6		dffn4 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
8		fofi 9351	. . . 4 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10		fdm 6745	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		fzn0 13578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	12, 13	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
15	11, 14	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 ≠ ∅)
16		dm0rn0 5935	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
17	16	necon3bii 2993	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
18	15, 17	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
19		ltso 11341	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
20		fisupcl 9509	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
21	19, 20	mpan 690	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
22	9, 18, 2, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
23	2, 22	sseldd 3984	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   Or wor 5591  dom cdm 5685  ran crn 5686   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  ℝcr 11154   < clt 11295  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by: (None)