Theorem fseqsupcl 14045

Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6714	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fzfi 14040	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6		dffn4 6799	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹)
8		fofi 9287	. . . 4 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10		fdm 6716	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12		fzn0 13596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12	biranri 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
14	11, 13	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → dom 𝐹 ≠ ∅)
15		dm0rn0 5912	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
16	15	necon3bii 3009	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
17	14, 16	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
18		ltso 11318	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
19		fisupcl 9444	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ)) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
20	18, 19	mpan 703	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
21	9, 17, 2, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
22	2, 21	sseldd 3935	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   Or wor 5566  dom cdm 5659  ran crn 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  supcsup 9414  ℝcr 11127   < clt 11271  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566

This theorem is used by: (None)