MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fseqsupcl 13948
Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fseqsupcl ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl
StepHypRef Expression
1 frn 6718 . . 3 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
21adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
3 fzfi 13943 . . . 4 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4 ffn 6711 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
54adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6 dffn4 6805 . . . . 5 (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹)
75, 6sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹)
8 fofi 9340 . . . 4 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 586 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
10 fdm 6720 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 fzn0 13521 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) β‰  βˆ… ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1412, 13sylibr 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ (𝑀...𝑁) β‰  βˆ…)
1511, 14eqnetrd 3002 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
16 dm0rn0 5918 . . . . 5 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
1716necon3bii 2987 . . . 4 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
1815, 17sylib 217 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
19 ltso 11298 . . . 4 < Or ℝ
20 fisupcl 9466 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ)) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
2119, 20mpan 687 . . 3 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
229, 18, 2, 21syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
232, 22sseldd 3978 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   Or wor 5580  dom cdm 5669  ran crn 5670   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111   < clt 11252  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator