MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fseqsupcl 13891
Description: The values of a finite real sequence have a supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fseqsupcl ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem fseqsupcl
StepHypRef Expression
1 frn 6679 . . 3 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
21adantl 483 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
3 fzfi 13886 . . . 4 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
4 ffn 6672 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
54adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6 dffn4 6766 . . . . 5 (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ↔ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹)
75, 6sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹)
8 fofi 9288 . . . 4 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 588 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
10 fdm 6681 . . . . . 6 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
1110adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
12 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 fzn0 13464 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) β‰  βˆ… ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1412, 13sylibr 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ (𝑀...𝑁) β‰  βˆ…)
1511, 14eqnetrd 3008 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
16 dm0rn0 5884 . . . . 5 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
1716necon3bii 2993 . . . 4 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
1815, 17sylib 217 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
19 ltso 11243 . . . 4 < Or ℝ
20 fisupcl 9413 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ (ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ)) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
2119, 20mpan 689 . . 3 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
229, 18, 2, 21syl3anc 1372 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
232, 22sseldd 3949 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   Or wor 5548  dom cdm 5637  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058   < clt 11197  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator