Theorem odnncl 19563

Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odnncl	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ≠ 0)
3		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		abs00 15328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
6	5	necon3bbid 2978	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ¬ (abs‘𝑁) = 0)
9		nn0abscl 15351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
10	3, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
11		elnn0 12528	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
13	12	ord 865	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
14	8, 13	mt3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
16		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
17	16	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
19		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
20		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
21		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	mulgneg 19110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
24	19, 3, 1, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
25	15	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
26		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
27	26, 22	grpinvid 19017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
28	19, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
29	24, 25, 28	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = 0 )
30		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (-𝑁 · 𝐴))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝐴) = 0 ))
32	29, 31	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
33	3	zred 12722	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	absord 15454	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
35	18, 32, 34	mpjaod 861	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 )
36		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
37	20, 36, 21, 26	odlem2 19557	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
38	1, 14, 35, 37	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
39		elfznn 13593	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  abscabs 15273  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  ._gcmg 19085  odcod 19542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-od 19546

This theorem is referenced by:  oddvds  19565