MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odnncl 19407
Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odnncl (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem odnncl
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 simprl 769 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43zcnd 12663 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 abs00 15232 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ = 0))
65necon3bbid 2978 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ โ‰  0))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ โ‰  0))
82, 7mpbird 256 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0)
9 nn0abscl 15255 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
103, 9syl 17 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
11 elnn0 12470 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ (absโ€˜๐‘) = 0))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ (absโ€˜๐‘) = 0))
1312ord 862 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐‘) = 0))
148, 13mt3d 148 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
15 simprr 771 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
16 oveq1 7412 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
1716eqeq1d 2734 . . . . 5 ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ (((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ))
19 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
20 odcl.1 . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
21 odid.3 . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
22 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
2320, 21, 22mulgneg 18966 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2419, 3, 1, 23syl3anc 1371 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2515fveq2d 6892 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ))
26 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐บ)
2726, 22grpinvid 18880 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ) = 0 )
2819, 27syl 17 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ) = 0 )
2924, 25, 283eqtrd 2776 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
30 oveq1 7412 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = (-๐‘ ยท ๐ด))
3130eqeq1d 2734 . . . . 5 ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ (((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 โ†” (-๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ))
333zred 12662 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3433absord 15358 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โˆจ (absโ€˜๐‘) = -๐‘))
3518, 32, 34mpjaod 858 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 )
36 odcl.2 . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
3720, 36, 21, 26odlem2 19401 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)))
381, 14, 35, 37syl3anc 1371 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)))
39 elfznn 13526 . 2 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
4038, 39syl 17 1 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11441  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  ...cfz 13480  abscabs 15177  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  .gcmg 18944  odcod 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-od 19390
This theorem is referenced by:  oddvds  19409
  Copyright terms: Public domain W3C validator