MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odnncl 19507
Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odnncl (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem odnncl
StepHypRef Expression
1 simpl2 1189 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 simprl 769 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43zcnd 12705 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 abs00 15276 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ = 0))
65necon3bbid 2975 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ โ‰  0))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ โ‰  0))
82, 7mpbird 256 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0)
9 nn0abscl 15299 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
103, 9syl 17 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
11 elnn0 12512 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ (absโ€˜๐‘) = 0))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ (absโ€˜๐‘) = 0))
1312ord 862 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐‘) = 0))
148, 13mt3d 148 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
15 simprr 771 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
16 oveq1 7433 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
1716eqeq1d 2730 . . . . 5 ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ (((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ))
19 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
20 odcl.1 . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
21 odid.3 . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
22 eqid 2728 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
2320, 21, 22mulgneg 19054 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2419, 3, 1, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2515fveq2d 6906 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ))
26 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐บ)
2726, 22grpinvid 18963 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ) = 0 )
2819, 27syl 17 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ) = 0 )
2924, 25, 283eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
30 oveq1 7433 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = (-๐‘ ยท ๐ด))
3130eqeq1d 2730 . . . . 5 ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ (((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 โ†” (-๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ))
333zred 12704 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3433absord 15402 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โˆจ (absโ€˜๐‘) = -๐‘))
3518, 32, 34mpjaod 858 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 )
36 odcl.2 . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
3720, 36, 21, 26odlem2 19501 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)))
381, 14, 35, 37syl3anc 1368 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)))
39 elfznn 13570 . 2 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
4038, 39syl 17 1 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  -cneg 11483  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  ...cfz 13524  abscabs 15221  Basecbs 17187  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  .gcmg 19030  odcod 19486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-od 19490
This theorem is referenced by:  oddvds  19509
  Copyright terms: Public domain W3C validator