Theorem odnncl 19587

Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odnncl	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ≠ 0)
3		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		abs00 15338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
6	5	necon3bbid 2984	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ¬ (abs‘𝑁) = 0)
9		nn0abscl 15361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
10	3, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
11		elnn0 12555	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
13	12	ord 863	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
14	8, 13	mt3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
16		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
17	16	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
19		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
20		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
21		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	mulgneg 19132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
24	19, 3, 1, 23	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
25	15	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
26		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
27	26, 22	grpinvid 19039	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
28	19, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
29	24, 25, 28	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = 0 )
30		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (-𝑁 · 𝐴))
31	30	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝐴) = 0 ))
32	29, 31	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
33	3	zred 12747	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	absord 15464	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
35	18, 32, 34	mpjaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 )
36		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
37	20, 36, 21, 26	odlem2 19581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
38	1, 14, 35, 37	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
39		elfznn 13613	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  abscabs 15283  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  ._gcmg 19107  odcod 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-od 19570

This theorem is referenced by:  oddvds  19589