Theorem odnncl 18348

Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odnncl	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1201	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simprl 761	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ≠ 0)
3		simpl3 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 11835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		abs00 14436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
6	5	necon3bbid 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ¬ (abs‘𝑁) = 0)
9		nn0abscl 14459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
10	3, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
11		elnn0 11644	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
12	10, 11	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
13	12	ord 853	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
14	8, 13	mt3d 143	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15		simprr 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
16		oveq1 6929	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
17	16	eqeq1d 2780	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
18	15, 17	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
19		simpl1 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
20		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
21		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	mulgneg 17946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
24	19, 3, 1, 23	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
25	15	fveq2d 6450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
26		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
27	26, 22	grpinvid 17863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
28	19, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
29	24, 25, 28	3eqtrd 2818	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = 0 )
30		oveq1 6929	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (-𝑁 · 𝐴))
31	30	eqeq1d 2780	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝐴) = 0 ))
32	29, 31	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
33	3	zred 11834	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	absord 14562	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
35	18, 32, 34	mpjaod 849	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 )
36		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
37	20, 36, 21, 26	odlem2 18342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
38	1, 14, 35, 37	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
39		elfznn 12687	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273  -cneg 10607  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ...cfz 12643  abscabs 14381  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809  inv_gcminusg 17810  ._gcmg 17927  odcod 18328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-od 18332

This theorem is referenced by:  oddvds  18350