MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odnncl 19463
Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odnncl (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem odnncl
StepHypRef Expression
1 simpl2 1189 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 simprl 768 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43zcnd 12668 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 abs00 15240 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ = 0))
65necon3bbid 2972 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ โ‰  0))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0 โ†” ๐‘ โ‰  0))
82, 7mpbird 257 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ยฌ (absโ€˜๐‘) = 0)
9 nn0abscl 15263 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
103, 9syl 17 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
11 elnn0 12475 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ (absโ€˜๐‘) = 0))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ (absโ€˜๐‘) = 0))
1312ord 861 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (ยฌ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜๐‘) = 0))
148, 13mt3d 148 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
15 simprr 770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
16 oveq1 7411 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
1716eqeq1d 2728 . . . . 5 ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ (((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ))
19 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
20 odcl.1 . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
21 odid.3 . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
22 eqid 2726 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
2320, 21, 22mulgneg 19017 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2419, 3, 1, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2515fveq2d 6888 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ))
26 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐บ)
2726, 22grpinvid 18927 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ) = 0 )
2819, 27syl 17 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜ 0 ) = 0 )
2924, 25, 283eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (-๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
30 oveq1 7411 . . . . . 6 ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = (-๐‘ ยท ๐ด))
3130eqeq1d 2728 . . . . 5 ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ (((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 โ†” (-๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = -๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ))
333zred 12667 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3433absord 15366 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) = ๐‘ โˆจ (absโ€˜๐‘) = -๐‘))
3518, 32, 34mpjaod 857 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 )
36 odcl.2 . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
3720, 36, 21, 26odlem2 19457 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)))
381, 14, 35, 37syl3anc 1368 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)))
39 elfznn 13533 . 2 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
4038, 39syl 17 1 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11446  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  ...cfz 13487  abscabs 15185  Basecbs 17151  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  .gcmg 18993  odcod 19442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-od 19446
This theorem is referenced by:  oddvds  19465
  Copyright terms: Public domain W3C validator