Theorem odnncl 19407

Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odnncl	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ≠ 0)
3		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		abs00 15232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
6	5	necon3bbid 2978	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ¬ (abs‘𝑁) = 0)
9		nn0abscl 15255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
10	3, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
11		elnn0 12470	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
12	10, 11	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
13	12	ord 862	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
14	8, 13	mt3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
16		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
17	16	eqeq1d 2734	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
18	15, 17	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
19		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
20		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
21		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	mulgneg 18966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
24	19, 3, 1, 23	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
25	15	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
26		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
27	26, 22	grpinvid 18880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
28	19, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
29	24, 25, 28	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = 0 )
30		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (-𝑁 · 𝐴))
31	30	eqeq1d 2734	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝐴) = 0 ))
32	29, 31	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
33	3	zred 12662	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	absord 15358	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
35	18, 32, 34	mpjaod 858	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 )
36		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
37	20, 36, 21, 26	odlem2 19401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
38	1, 14, 35, 37	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
39		elfznn 13526	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11441  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480  abscabs 15177  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  ._gcmg 18944  odcod 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-od 19390

This theorem is referenced by:  oddvds  19409