MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgneg 18244
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
mulgneg.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgneg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 11894 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simpr 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
4 mulgnncl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 mulgnncl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 mulgneg.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
74, 5, 6mulgnegnn 18236 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
82, 3, 7syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
9 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1110, 6grpinvid 18158 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
129, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
13 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1413oveq1d 7161 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐵)
164, 10, 5mulg0 18229 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1814, 17eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
1918fveq2d 6663 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2013negeqd 10874 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
21 neg0 10926 . . . . . . . 8 -0 = 0
2220, 21syl6eq 2875 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 0)
2322oveq1d 7161 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2423, 17eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
2512, 19, 243eqtr4rd 2870 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
268, 25jaodan 955 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
271, 26sylan2b 596 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
28 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
3029nnzd 12081 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
31 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
324, 5mulgcl 18243 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3328, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
344, 6grpinvinv 18164 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
3528, 33, 34syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
364, 5, 6mulgnegnn 18236 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
3729, 31, 36syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
38 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3938recnd 10663 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4039negnegd 10982 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
4140oveq1d 7161 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
4237, 41eqtr3d 2861 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4342fveq2d 6663 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
4435, 43eqtr3d 2861 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
45 simp2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 elznn0nn 11990 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4745, 46sylib 221 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4827, 44, 47mpjaodan 956 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7146  cr 10530  0cc0 10531  -cneg 10865  cn 11632  0cn0 11892  cz 11976  Basecbs 16481  0gc0g 16711  Grpcgrp 18101  invgcminusg 18102  .gcmg 18222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-seq 13372  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-mulg 18223
This theorem is referenced by:  mulgnegneg  18245  mulgm1  18246  mulgaddcomlem  18248  mulginvcom  18250  mulgz  18253  mulgdirlem  18256  mulgdir  18257  mulgneg2  18259  mulgass  18262  mulgsubdir  18265  cycsubgcl  18347  ghmmulg  18368  odnncl  18671  gexdvds  18707  mulgdi  18945  mulgass2  19349  clmmulg  23704  archirngz  30845  archiabllem2c  30851
  Copyright terms: Public domain W3C validator