Theorem mulgneg 19059

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpl3 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnncl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnncl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		mulgneg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	4, 5, 6	mulgnegnn 19051	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
8	2, 3, 7	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
9		simpl1 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	10, 6	grpinvid 18966	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
13		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
14	13	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15		simpl3 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 10, 5	mulg0 19041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
18	14, 17	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
19	18	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
20	13	negeqd 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
21		neg0 11431	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
22	20, 21	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 0)
23	22	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
24	23, 17	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
25	12, 19, 24	3eqtr4rd 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
26	8, 25	jaodan 965	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
27	1, 26	sylan2b 600	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
28		simpl1 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12541	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
31		simpl3 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	4, 5	mulgcl 19058	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
34	4, 6	grpinvinv 18972	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
35	28, 33, 34	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
36	4, 5, 6	mulgnegnn 19051	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
37	29, 31, 36	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
38		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
40	39	negnegd 11487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
41	40	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
42	37, 41	eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
43	42	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
44	35, 43	eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
45		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
46		elznn0nn 12529	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
47	45, 46	sylib 219	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
48	27, 44, 47	mpjaodan 966	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  -cneg 11369  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  ._gcmg 19034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035

This theorem is referenced by:  mulgnegneg  19060  mulgm1  19061  mulgaddcomlem  19064  mulginvcom  19066  mulgz  19069  mulgdirlem  19072  mulgdir  19073  mulgneg2  19075  mulgass  19078  mulgsubdir  19081  cycsubgcl  19172  ghmmulg  19194  odnncl  19511  gexdvds  19550  mulgdi  19792  mulgass2  20281  clmmulg  25086  archirngz  33270  archiabllem2c  33276  primrootscoprbij  42587  aks6d1c6isolem1  42659