MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgneg 19019
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnncl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgneg.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgneg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12478 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 simpr 484 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 mulgnncl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
5 mulgnncl.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
6 mulgneg.i . . . . . 6 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
74, 5, 6mulgnegnn 19011 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
82, 3, 7syl2anc 583 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
9 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
1110, 6grpinvid 18929 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
129, 11syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
13 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
1413oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
15 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
164, 10, 5mulg0 19002 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1814, 17eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1918fveq2d 6889 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)))
2013negeqd 11458 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = -0)
21 neg0 11510 . . . . . . . 8 -0 = 0
2220, 21eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = 0)
2322oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2423, 17eqtrd 2766 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2512, 19, 243eqtr4rd 2777 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
268, 25jaodan 954 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
271, 26sylan2b 593 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
28 simpl1 1188 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
29 simprr 770 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
3029nnzd 12589 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
31 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
324, 5mulgcl 19018 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3328, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
344, 6grpinvinv 18935 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
3528, 33, 34syl2anc 583 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
364, 5, 6mulgnegnn 19011 . . . . . 6 ((-๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
3729, 31, 36syl2anc 583 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
38 simprl 768 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3938recnd 11246 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4039negnegd 11566 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
4140oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4237, 41eqtr3d 2768 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4342fveq2d 6889 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4435, 43eqtr3d 2768 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
45 simp2 1134 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
46 elznn0nn 12576 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
4745, 46sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
4827, 44, 47mpjaodan 955 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  -cneg 11449  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgnegneg  19020  mulgm1  19021  mulgaddcomlem  19024  mulginvcom  19026  mulgz  19029  mulgdirlem  19032  mulgdir  19033  mulgneg2  19035  mulgass  19038  mulgsubdir  19041  cycsubgcl  19132  ghmmulg  19153  odnncl  19465  gexdvds  19504  mulgdi  19746  mulgass2  20208  clmmulg  24983  archirngz  32841  archiabllem2c  32847  primrootscoprbij  41482
  Copyright terms: Public domain W3C validator