Theorem mulgneg 19020

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12401	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnncl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnncl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		mulgneg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	4, 5, 6	mulgnegnn 19012	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
9		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	10, 6	grpinvid 18927	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
14	13	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 10, 5	mulg0 19002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
18	14, 17	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
19	18	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
20	13	negeqd 11372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
21		neg0 11425	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
22	20, 21	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 0)
23	22	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
24	23, 17	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
25	12, 19, 24	3eqtr4rd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
26	8, 25	jaodan 959	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
27	1, 26	sylan2b 594	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
28		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12512	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
31		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	4, 5	mulgcl 19019	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
34	4, 6	grpinvinv 18933	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
35	28, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
36	4, 5, 6	mulgnegnn 19012	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
37	29, 31, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
38		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
40	39	negnegd 11481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
41	40	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
42	37, 41	eqtr3d 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
43	42	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
44	35, 43	eqtr3d 2771	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
45		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
46		elznn0nn 12500	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
47	45, 46	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
48	27, 44, 47	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  -cneg 11363  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862  ._gcmg 18995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996

This theorem is referenced by:  mulgnegneg  19021  mulgm1  19022  mulgaddcomlem  19025  mulginvcom  19027  mulgz  19030  mulgdirlem  19033  mulgdir  19034  mulgneg2  19036  mulgass  19039  mulgsubdir  19042  cycsubgcl  19133  ghmmulg  19155  odnncl  19472  gexdvds  19511  mulgdi  19753  mulgass2  20242  clmmulg  25055  archirngz  33220  archiabllem2c  33226  primrootscoprbij  42295  aks6d1c6isolem1  42367