MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgneg 18894
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
mulgneg.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgneg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12415 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simpr 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
4 mulgnncl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 mulgnncl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 mulgneg.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
74, 5, 6mulgnegnn 18886 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
9 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1110, 6grpinvid 18808 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
129, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
13 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1413oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐵)
164, 10, 5mulg0 18879 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1814, 17eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
1918fveq2d 6846 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2013negeqd 11395 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
21 neg0 11447 . . . . . . . 8 -0 = 0
2220, 21eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 0)
2322oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2423, 17eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
2512, 19, 243eqtr4rd 2787 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
268, 25jaodan 956 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
271, 26sylan2b 594 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
28 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
3029nnzd 12526 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
31 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
324, 5mulgcl 18893 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3328, 30, 31, 32syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
344, 6grpinvinv 18814 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
3528, 33, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
364, 5, 6mulgnegnn 18886 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
3729, 31, 36syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
38 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3938recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4039negnegd 11503 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
4140oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
4237, 41eqtr3d 2778 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4342fveq2d 6846 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
4435, 43eqtr3d 2778 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
45 simp2 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 elznn0nn 12513 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4745, 46sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4827, 44, 47mpjaodan 957 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  -cneg 11386  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  .gcmg 18872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873
This theorem is referenced by:  mulgnegneg  18895  mulgm1  18896  mulgaddcomlem  18899  mulginvcom  18901  mulgz  18904  mulgdirlem  18907  mulgdir  18908  mulgneg2  18910  mulgass  18913  mulgsubdir  18916  cycsubgcl  18999  ghmmulg  19020  odnncl  19327  gexdvds  19366  mulgdi  19605  mulgass2  20025  clmmulg  24464  archirngz  32025  archiabllem2c  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator