MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgneg 19054
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnncl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgneg.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgneg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12512 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 simpr 483 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 mulgnncl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
5 mulgnncl.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
6 mulgneg.i . . . . . 6 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
74, 5, 6mulgnegnn 19046 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
82, 3, 7syl2anc 582 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
9 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
1110, 6grpinvid 18963 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
129, 11syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
13 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
1413oveq1d 7441 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
15 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
164, 10, 5mulg0 19037 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1814, 17eqtrd 2768 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1918fveq2d 6906 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)))
2013negeqd 11492 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = -0)
21 neg0 11544 . . . . . . . 8 -0 = 0
2220, 21eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = 0)
2322oveq1d 7441 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2423, 17eqtrd 2768 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2512, 19, 243eqtr4rd 2779 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
268, 25jaodan 955 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
271, 26sylan2b 592 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
28 simpl1 1188 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
29 simprr 771 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
3029nnzd 12623 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
31 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
324, 5mulgcl 19053 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3328, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
344, 6grpinvinv 18969 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
3528, 33, 34syl2anc 582 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
364, 5, 6mulgnegnn 19046 . . . . . 6 ((-๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
3729, 31, 36syl2anc 582 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
38 simprl 769 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3938recnd 11280 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4039negnegd 11600 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
4140oveq1d 7441 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4237, 41eqtr3d 2770 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4342fveq2d 6906 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4435, 43eqtr3d 2770 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
45 simp2 1134 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
46 elznn0nn 12610 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
4745, 46sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
4827, 44, 47mpjaodan 956 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146  -cneg 11483  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  Basecbs 17187  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  .gcmg 19030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031
This theorem is referenced by:  mulgnegneg  19055  mulgm1  19056  mulgaddcomlem  19059  mulginvcom  19061  mulgz  19064  mulgdirlem  19067  mulgdir  19068  mulgneg2  19070  mulgass  19073  mulgsubdir  19076  cycsubgcl  19168  ghmmulg  19189  odnncl  19507  gexdvds  19546  mulgdi  19788  mulgass2  20252  clmmulg  25048  archirngz  32918  archiabllem2c  32924  primrootscoprbij  41605  aks6d1c6isolem1  41678
  Copyright terms: Public domain W3C validator