Theorem mulgz 19163

Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19002	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgnn0z.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0z.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 19162	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 591	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		nn0z 12610	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	3, 5	grpidcl 19027	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐵)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	3, 4, 13	mulgneg 19153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
15	8, 10, 12, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16		zcn 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	negnegd 11555	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
20	3, 4, 5	mulgnn0z 19162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
21	2, 20	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
22	21	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
23	5, 13	grpinvid 19061	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
24	23	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	22, 24	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27		elznn0 12601	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
28	27	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
29	28	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
30	7, 26, 29	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  -cneg 11437  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  ._gcmg 19128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129

This theorem is referenced by:  mulgmodid  19174  odmod  19611  gexdvdsi  19648  primrootscoprmpow  42886  primrootscoprbij  42889  primrootspoweq0  42893  aks6d1c6lem5  42964  grpods  42981  unitscyglem1  42982  unitscyglem4  42985