Theorem mulgz 19214

Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19053	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgnn0z.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0z.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 19213	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		nn0z 12632	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	3, 5	grpidcl 19078	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐵)
13		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	3, 4, 13	mulgneg 19204	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
15	8, 10, 12, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16		zcn 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	negnegd 11577	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
20	3, 4, 5	mulgnn0z 19213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
21	2, 20	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
22	21	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
23	5, 13	grpinvid 19112	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
24	23	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	22, 24	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27		elznn0 12623	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
28	27	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
29	28	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
30	7, 26, 29	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  -cneg 11459  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  Basecbs 17293  0_gc0g 17516  Mndcmnd 18826  Grpcgrp 19046  inv_gcminusg 19047  ._gcmg 19179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-mulg 19180

This theorem is used by:  mulgmodid  19225  odmod  19662  gexdvdsi  19699  primrootscoprmpow  42926  primrootscoprbij  42929  primrootspoweq0  42933  aks6d1c6lem5  43004  grpods  43021  unitscyglem1  43022  unitscyglem4  43025