Theorem mulgz 19070

Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18908	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgnn0z.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0z.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 19069	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 586	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8		simpll 772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		nn0z 12540	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	3, 5	grpidcl 18933	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐵)
13		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	3, 4, 13	mulgneg 19060	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
15	8, 10, 12, 14	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16		zcn 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	ad2antlr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	negnegd 11488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
20	3, 4, 5	mulgnn0z 19069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
21	2, 20	sylan 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
22	21	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
23	5, 13	grpinvid 18967	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
24	23	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	22, 24	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27		elznn0 12531	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
28	27	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
29	28	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
30	7, 26, 29	mpjaodan 966	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  -cneg 11370  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  Basecbs 17171  0_gc0g 17394  Mndcmnd 18694  Grpcgrp 18901  inv_gcminusg 18902  ._gcmg 19035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-seq 13956  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-mulg 19036

This theorem is referenced by:  mulgmodid  19081  odmod  19513  gexdvdsi  19550  primrootscoprmpow  42593  primrootscoprbij  42596  primrootspoweq0  42600  aks6d1c6lem5  42671  grpods  42688  unitscyglem1  42689  unitscyglem4  42692