Theorem 0subgOLD 19135

Description: Obsolete version of 0subg 19134 as of 31-Jan-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subgOLD	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subgOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18948	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4	3	snssd 4785	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5	2	fvexi 6890	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	snnz 4752	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 2	grplid 18950	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
10	3, 9	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
11		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ V
12	11	elsn 4616	. . . 4 ⊢ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	10, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
15	2, 14	grpinvid 18982	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
16		fvex 6889	. . . . 5 ⊢ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ V
17	16	elsn 4616	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
18	15, 17	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
19		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑏))
20	19	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
21	20	ralbidv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
22		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺) 0 ))
23	22	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → (( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4657	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
25	21, 24	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
26		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
27	26	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
28	25, 27	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })))
29	5, 28	ralsn 4657	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
30	13, 18, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))
31	1, 8, 14	issubg2 19124	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))))
32	4, 7, 30, 31	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  SubGrpcsubg 19103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106

This theorem is referenced by: (None)