Theorem 0subgOLD 19025

Description: Obsolete version of 0subg 19024 as of 31-Jan-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subgOLD	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subgOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18845	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4	3	snssd 4810	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5	2	fvexi 6901	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	snnz 4778	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 2	grplid 18847	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
10	3, 9	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
11		ovex 7436	. . . . 5 ⊢ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ V
12	11	elsn 4641	. . . 4 ⊢ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	10, 12	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
15	2, 14	grpinvid 18879	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
16		fvex 6900	. . . . 5 ⊢ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ V
17	16	elsn 4641	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
18	15, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
19		oveq1 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑏))
20	19	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
21	20	ralbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
22		oveq2 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺) 0 ))
23	22	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → (( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4683	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
25	21, 24	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
26		fveq2 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
27	26	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
28	25, 27	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })))
29	5, 28	ralsn 4683	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
30	13, 18, 29	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))
31	1, 8, 14	issubg2 19014	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))))
32	4, 7, 30, 31	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ⊆ wss 3946  ∅c0 4320  {csn 4626  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  Basecbs 17139  +_gcplusg 17192  0_gc0g 17380  Grpcgrp 18814  inv_gcminusg 18815  SubGrpcsubg 18993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-subg 18996

This theorem is referenced by: (None)