Theorem 0subgOLD 18983

Description: Obsolete version of 0subg 18982 as of 31-Jan-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subgOLD	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subgOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18807	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4	3	snssd 4789	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5	2	fvexi 6876	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	snnz 4757	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 2	grplid 18809	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
10	3, 9	mpdan 685	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
11		ovex 7410	. . . . 5 ⊢ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ V
12	11	elsn 4621	. . . 4 ⊢ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	10, 12	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
14		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
15	2, 14	grpinvid 18837	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
16		fvex 6875	. . . . 5 ⊢ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ V
17	16	elsn 4621	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
18	15, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
19		oveq1 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑏))
20	19	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
21	20	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
22		oveq2 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺) 0 ))
23	22	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → (( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4662	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
25	21, 24	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
26		fveq2 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
27	26	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
28	25, 27	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })))
29	5, 28	ralsn 4662	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
30	13, 18, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))
31	1, 8, 14	issubg2 18972	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))))
32	4, 7, 30, 31	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ⊆ wss 3928  ∅c0 4302  {csn 4606  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  +_gcplusg 17162  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18777  inv_gcminusg 18778  SubGrpcsubg 18951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-subg 18954

This theorem is referenced by: (None)