Theorem 0subgOLD 19068

Description: Obsolete version of 0subg 19067 as of 31-Jan-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subgOLD	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subgOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18886	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4	3	snssd 4811	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5	2	fvexi 6904	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	snnz 4779	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 2	grplid 18888	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
10	3, 9	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
11		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ V
12	11	elsn 4642	. . . 4 ⊢ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	10, 12	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
14		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
15	2, 14	grpinvid 18920	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
16		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ V
17	16	elsn 4642	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
18	15, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
19		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺)𝑏))
20	19	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
21	20	ralbidv 3175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
22		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺) 0 ))
23	22	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → (( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4684	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
25	21, 24	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
26		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
27	26	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
28	25, 27	anbi12d 629	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })))
29	5, 28	ralsn 4684	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
30	13, 18, 29	sylanbrc 581	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))
31	1, 8, 14	issubg2 19057	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))))
32	4, 7, 30, 31	mpbir3and 1340	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  0_gc0g 17389  Grpcgrp 18855  inv_gcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039

This theorem is referenced by: (None)