Theorem harval 9551

Description: Function value of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harval	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})

Distinct variable group:   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem harval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3492	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
2		breq2 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 𝑋))
3	2	rabbidv 3440	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥} = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
4		df-har 9548	. . 3 ⊢ har = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥})
5		hartogs 9535	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥} ∈ On)
6	3, 4, 5	fvmpt3 6999	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
7	1, 6	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  Oncon0 6361  ‘cfv 6540   ≼ cdom 8933  harchar 9547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-en 8936  df-dom 8937  df-oi 9501  df-har 9548

This theorem is referenced by:  elharval  9552  harword  9554  harwdom  9582  harval2  9988