Theorem harval 9475

Description: Function value of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harval	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})

Distinct variable group:   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem harval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3450	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
2		breq2 5089	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 𝑋))
3	2	rabbidv 3396	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥} = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
4		df-har 9472	. . 3 ⊢ har = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥})
5		hartogs 9459	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥} ∈ On)
6	3, 4, 5	fvmpt3 6952	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
7	1, 6	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  Oncon0 6323  ‘cfv 6498   ≼ cdom 8891  harchar 9471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-en 8894  df-dom 8895  df-oi 9425  df-har 9472

This theorem is referenced by:  elharval  9476  harword  9478  harwdom  9506  harval2  9921