Theorem harval 9249

Description: Function value of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harval	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})

Distinct variable group:   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem harval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3440	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
2		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 𝑋))
3	2	rabbidv 3404	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥} = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
4		df-har 9246	. . 3 ⊢ har = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥})
5		hartogs 9233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑥} ∈ On)
6	3, 4, 5	fvmpt3 6861	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
7	1, 6	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  Oncon0 6251  ‘cfv 6418   ≼ cdom 8689  harchar 9245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-en 8692  df-dom 8693  df-oi 9199  df-har 9246

This theorem is referenced by:  elharval  9250  harword  9252  harwdom  9280  harval2  9686