Theorem hcaucvg 31172

Description: A Cauchy sequence on a Hilbert space converges. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hcaucvg	⊢ ((𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐴,𝑧

Proof of Theorem hcaucvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hcau 31170	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥)
3		breq2 5128	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴))
4	3	rexralbidv 3211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴))
5	4	rspccva 3605	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴)
6	2, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   < clt 11274  ℕcn 12245  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013   ℋchba 30905  norm_ℎcno 30909   −_ℎ cmv 30911  Cauchyccauold 30912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-1cn 11192  ax-addcl 11194  ax-hilex 30985

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-map 8847  df-nn 12246  df-hcau 30959

This theorem is referenced by:  chscllem2  31624