Theorem hcaucvg 29548

Description: A Cauchy sequence on a Hilbert space converges. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hcaucvg	⊢ ((𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐴,𝑧

Proof of Theorem hcaucvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hcau 29546	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
2	1	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥)
3		breq2 5078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴))
4	3	rexralbidv 3230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴))
5	4	rspccva 3560	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴)
6	2, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   < clt 11009  ℕcn 11973  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730   ℋchba 29281  norm_ℎcno 29285   −_ℎ cmv 29287  Cauchyccauold 29288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931  ax-hilex 29361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-map 8617  df-nn 11974  df-hcau 29335

This theorem is referenced by:  chscllem2  30000