HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hcaucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hcaucvg 28659
Description: A Cauchy sequence on a Hilbert space converges. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hcaucvg ((𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐴,𝑧

Proof of Theorem hcaucvg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hcau 28657 . . 3 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
21simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥)
3 breq2 4970 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝐴))
43rexralbidv 3264 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝐴))
54rspccva 3558 . 2 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝐴)
62, 5sylan 580 1 ((𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106   class class class wbr 4966  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021   < clt 10526  cn 11491  cuz 12098  +crp 12244  chba 28392  normcno 28396   cmv 28398  Cauchyccauold 28399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-1cn 10446  ax-addcl 10448  ax-hilex 28472
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-map 8263  df-nn 11492  df-hcau 28446
This theorem is referenced by:  chscllem2  29111
  Copyright terms: Public domain W3C validator