HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hcau 30987
Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hcau (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹

Proof of Theorem hcau
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
2 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
31, 2oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
43fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) = (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
54breq1d 5152 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
65rexralbidv 3216 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
76ralbidv 3173 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
8 df-hcau 30776 . . 3 Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥}
97, 8elrab2 3684 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
10 ax-hilex 30802 . . . 4 ℋ ∈ V
11 nnex 12242 . . . 4 ℕ ∈ V
1210, 11elmap 8883 . . 3 (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
1312anbi1i 623 . 2 ((𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
149, 13bitri 275 1 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066   class class class wbr 5142  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8838   < clt 11272  cn 12236  cuz 12846  +crp 13000  chba 30722  normcno 30726   cmv 30728  Cauchyccauold 30729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-1cn 11190  ax-addcl 11192  ax-hilex 30802
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-map 8840  df-nn 12237  df-hcau 30776
This theorem is referenced by:  hcauseq  30988  hcaucvg  30989  seq1hcau  30990  chscllem2  31441
  Copyright terms: Public domain W3C validator