HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hcau 28888
Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hcau (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹

Proof of Theorem hcau
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6662 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
2 fveq1 6662 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
31, 2oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
43fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) = (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
54breq1d 5067 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
65rexralbidv 3298 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
76ralbidv 3194 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
8 df-hcau 28677 . . 3 Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝑓𝑦) − (𝑓𝑧))) < 𝑥}
97, 8elrab2 3680 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
10 ax-hilex 28703 . . . 4 ℋ ∈ V
11 nnex 11632 . . . 4 ℕ ∈ V
1210, 11elmap 8424 . . 3 (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
1312anbi1i 623 . 2 ((𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
149, 13bitri 276 1 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395   < clt 10663  cn 11626  cuz 12231  +crp 12377  chba 28623  normcno 28627   cmv 28629  Cauchyccauold 28630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585  ax-hilex 28703
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-map 8397  df-nn 11627  df-hcau 28677
This theorem is referenced by:  hcauseq  28889  hcaucvg  28890  seq1hcau  28891  chscllem2  29342
  Copyright terms: Public domain W3C validator