Theorem hcau 30987

Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hcau	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹

Proof of Theorem hcau

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
2		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
3	1, 2	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧)))
4	3	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) = (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))))
5	4	breq1d 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
6	5	rexralbidv 3216	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
7	6	ralbidv 3173	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
8		df-hcau 30776	. . 3 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝑓‘𝑦) −ℎ (𝑓‘𝑧))) < 𝑥}
9	7, 8	elrab2 3684	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
10		ax-hilex 30802	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
11		nnex 12242	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
12	10, 11	elmap 8883	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
13	12	anbi1i 623	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))
14	9, 13	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(normℎ‘((𝐹‘𝑦) −ℎ (𝐹‘𝑧))) < 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   class class class wbr 5142  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8838   < clt 11272  ℕcn 12236  ℤ_≥cuz 12846  ℝ⁺crp 13000   ℋchba 30722  norm_ℎcno 30726   −_ℎ cmv 30728  Cauchyccauold 30729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-1cn 11190  ax-addcl 11192  ax-hilex 30802

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-map 8840  df-nn 12237  df-hcau 30776

This theorem is referenced by:  hcauseq  30988  hcaucvg  30989  seq1hcau  30990  chscllem2  31441