Theorem hfrel 46113

Description: A relation is a hereditarily finite set iff its domain and range are. (Contributed by Eric Schmidt, 26-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfrel	⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ∈ HF ↔ (dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF )))

Proof of Theorem hfrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfdm 46111	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ HF → dom 𝑅 ∈ HF )
2		hfrn 46112	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ HF → ran 𝑅 ∈ HF )
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ HF → (dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF ))
4		hfxp 46110	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF ) → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF )
5		relssdmrn 6271	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
6		hfsshf 9918	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∧ (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF ) → 𝑅 ∈ HF )
7	5, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF ) → 𝑅 ∈ HF )
8	7	ex 418	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ((dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF → 𝑅 ∈ HF ))
9	4, 8	syl5 35	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ((dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF ) → 𝑅 ∈ HF ))
10	3, 9	impbid2 229	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ∈ HF ↔ (dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651  Rel wrel 5655   HF chf 9907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-en 8977  df-dom 8978  df-fin 8980  df-r1 9771  df-rank 9772  df-hf 9908

This theorem is used by:  hfstructhf  46123