Theorem hfrel 46215

Description: A relation is a hereditarily finite set iff its domain and range are. (Contributed by Eric Schmidt, 26-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfrel	⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ∈ HF ↔ (dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF )))

Proof of Theorem hfrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfdm 46213	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ HF → dom 𝑅 ∈ HF )
2		hfrn 46214	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ HF → ran 𝑅 ∈ HF )
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ HF → (dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF ))
4		hfxp 46212	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF ) → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF )
5		relssdmrn 6289	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
6		hfsshf 9942	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∧ (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF ) → 𝑅 ∈ HF )
7	5, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF ) → 𝑅 ∈ HF )
8	7	ex 418	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ((dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ HF → 𝑅 ∈ HF ))
9	4, 8	syl5 35	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ((dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF ) → 𝑅 ∈ HF ))
10	3, 9	impbid2 229	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ∈ HF ↔ (dom 𝑅 ∈ HF ∧ ran 𝑅 ∈ HF )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656  Rel wrel 5660   HF chf 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005  df-r1 9795  df-rank 9796  df-hf 9932

This theorem is used by:  hfstructhf  46228