Theorem hfstructhf 46166

Description: A converted HFStruct is a hereditarily finite set. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfstructhf	⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )

Proof of Theorem hfstructhf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmco 6259	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) = (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹)
2		hashomf1o 46150	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
3		dff1o3 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ ((♯ ↾ ω):ω–onto→ℕ0 ∧ Fun ◡(♯ ↾ ω)))
4	2, 3	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–onto→ℕ0 ∧ Fun ◡(♯ ↾ ω))
5	4	simpri 491	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(♯ ↾ ω)
6		hfstructstruct 46161	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥)
7		dmstructfi 46063	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ∈ Fin)
8	7	exlimiv 1962	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ∈ Fin)
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom 𝐹 ∈ Fin)
10		imafi 9315	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡(♯ ↾ ω) ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹) ∈ Fin)
11	5, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹) ∈ Fin)
12	1, 11	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ Fin)
13		dmcoss 5958	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ dom (♯ ↾ ω)
14		dmhashres 14492	. . . . 5 ⊢ dom (♯ ↾ ω) = ω
15	13, 14	sseqtri 3957	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ω
16		omsshf 46158	. . . 4 ⊢ ω ⊆ HF
17	15, 16	sstri 3918	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ HF
18		elhf3 9920	. . 3 ⊢ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ HF ))
19	12, 17, 18	sylanblrc 602	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
20		rncoss 5960	. . 3 ⊢ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ran 𝐹
21		rnhfstructhf 46165	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ran 𝐹 ∈ HF )
22		hfsshf 9922	. . 3 ⊢ ((ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ∈ HF ) → ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
23	20, 21, 22	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
24		relco 6106	. . 3 ⊢ Rel (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω))
25		hfrel 46156	. . 3 ⊢ (Rel (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) → ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ))
27	19, 23, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656  Fun wfun 6537  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542  ωcom 7881  Fincfn 8981   HF chf 9911  ℕ₀cn0 12613  ♯chash 14481   Struct cstr 17333  HFStructchfstruct 46159

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-r1 9775  df-rank 9776  df-hf 9912  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482  df-struct 17334  df-hfstruct 46160

This theorem is used by: (None)