Theorem hfstructhf 46029

Description: A converted HFStruct is a hereditarily finite set. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfstructhf	⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )

Proof of Theorem hfstructhf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmco 6256	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) = (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹)
2		hashomf1o 46013	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
3		dff1o3 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ ((♯ ↾ ω):ω–onto→ℕ0 ∧ Fun ◡(♯ ↾ ω)))
4	2, 3	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–onto→ℕ0 ∧ Fun ◡(♯ ↾ ω))
5	4	simpri 491	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(♯ ↾ ω)
6		hfstructstruct 46024	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥)
7		dmstructfi 45926	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ∈ Fin)
8	7	exlimiv 1963	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ∈ Fin)
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom 𝐹 ∈ Fin)
10		imafi 9307	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡(♯ ↾ ω) ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹) ∈ Fin)
11	5, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹) ∈ Fin)
12	1, 11	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ Fin)
13		dmcoss 5957	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ dom (♯ ↾ ω)
14		dmhashres 14485	. . . . 5 ⊢ dom (♯ ↾ ω) = ω
15	13, 14	sseqtri 3979	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ω
16		omsshf 46021	. . . 4 ⊢ ω ⊆ HF
17	15, 16	sstri 3940	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ HF
18		elhf3 9913	. . 3 ⊢ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ HF ))
19	12, 17, 18	sylanblrc 602	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
20		rncoss 5959	. . 3 ⊢ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ran 𝐹
21		rnhfstructhf 46028	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ran 𝐹 ∈ HF )
22		hfsshf 9915	. . 3 ⊢ ((ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ∈ HF ) → ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
23	20, 21, 22	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
24		relco 6104	. . 3 ⊢ Rel (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω))
25		hfrel 46019	. . 3 ⊢ (Rel (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) → ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ))
27	19, 23, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656  Fun wfun 6532  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ωcom 7877  Fincfn 8973   HF chf 9904  ℕ₀cn0 12606  ♯chash 14474   Struct cstr 17324  HFStructchfstruct 46022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-r1 9768  df-rank 9769  df-hf 9905  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-struct 17325  df-hfstruct 46023

This theorem is used by: (None)