Theorem hfstructhf 46297

Description: A converted HFStruct is a hereditarily finite set. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfstructhf	⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )

Proof of Theorem hfstructhf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmco 6275	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) = (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹)
2		hashomf1o 46278	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω):ω⟶1-1ontoℕ0
3		dff1o3 6861	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω⟶1-1ontoℕ0 ↔ ((♯ ↾ ω):ω⟶ontoℕ0 ∧ Fun ◡(♯ ↾ ω)))
4	2, 3	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω⟶ontoℕ0 ∧ Fun ◡(♯ ↾ ω))
5	4	simpri 491	. . . . 5 ⊢ Fun ◡(♯ ↾ ω)
6		hfstructstruct 46292	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥)
7		dmstructfi 46189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ∈ Fin)
8	7	exlimiv 1965	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ∈ Fin)
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom 𝐹 ∈ Fin)
10		imafi 9345	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡(♯ ↾ ω) ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹) ∈ Fin)
11	5, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (◡(♯ ↾ ω) “ dom 𝐹) ∈ Fin)
12	1, 11	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ Fin)
13		dmcoss 5969	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ dom (♯ ↾ ω)
14		dmhashres 14526	. . . . 5 ⊢ dom (♯ ↾ ω) = ω
15	13, 14	sseqtri 3961	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ω
16		omsshf 46286	. . . 4 ⊢ ω ⊆ HF
17	15, 16	sstri 3922	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ HF
18		elhf3 9950	. . 3 ⊢ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ HF ))
19	12, 17, 18	sylanblrc 602	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
20		rncoss 5971	. . 3 ⊢ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ran 𝐹
21		rnhfstructhf 46296	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ran 𝐹 ∈ HF )
22		hfsshf 9952	. . 3 ⊢ ((ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ∈ HF ) → ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
23	20, 21, 22	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
24		relco 6122	. . 3 ⊢ Rel (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω))
25		hfrel 46284	. . 3 ⊢ (Rel (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) → ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ↔ (dom (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ ran (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ))
27	19, 23, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → (𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   ↾ cres 5660   “ cima 5661   ∘ ccom 5662  Rel wrel 5663  Fun wfun 6560  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  ωcom 7911  Fincfn 9011   HF chf 9941  ℕ₀cn0 12646  ♯chash 14515   Struct cstr 17368  HFStructchfstruct 46290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-r1 9805  df-rank 9806  df-hf 9942  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-struct 17369  df-hfstruct 46291

This theorem is used by:  hfstructwe  46303