Theorem omhf 45973

Description: Finite ordinals are hereditarily finite sets. (Contributed by Eric Schmidt, 26-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
omhf	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ HF )

Proof of Theorem omhf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ HF ↔ ∅ ∈ HF ))
2		eleq1 2849	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝑦 ∈ HF ))
3		eleq1 2849	. 2 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ HF ↔ suc 𝑦 ∈ HF ))
4		eleq1 2849	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ HF ))
5		0hf 9898	. 2 ⊢ ∅ ∈ HF
6		df-suc 6361	. . . 4 ⊢ suc 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑦})
7		hfadj 9903	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ HF ∧ 𝑦 ∈ HF ) → (𝑦 ∪ {𝑦}) ∈ HF )
8	7	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑦}) ∈ HF )
9	6, 8	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ HF → suc 𝑦 ∈ HF )
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ∈ HF → suc 𝑦 ∈ HF ))
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	finds 7897	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584  suc csuc 6357  ωcom 7866   HF chf 9885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-en 8958  df-dom 8959  df-fin 8961  df-r1 9752  df-rank 9753  df-hf 9886

This theorem is used by:  omsshf  45974