Theorem omhf 46216

Description: Finite ordinals are hereditarily finite sets. (Contributed by Eric Schmidt, 26-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
omhf	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ HF )

Proof of Theorem omhf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2852	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ HF ↔ ∅ ∈ HF ))
2		eleq1 2852	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝑦 ∈ HF ))
3		eleq1 2852	. 2 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ HF ↔ suc 𝑦 ∈ HF ))
4		eleq1 2852	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ HF ))
5		0hf 9944	. 2 ⊢ ∅ ∈ HF
6		df-suc 6386	. . . 4 ⊢ suc 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑦})
7		hfadj 9949	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ HF ∧ 𝑦 ∈ HF ) → (𝑦 ∪ {𝑦}) ∈ HF )
8	7	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ HF → (𝑦 ∪ {𝑦}) ∈ HF )
9	6, 8	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ HF → suc 𝑦 ∈ HF )
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ∈ HF → suc 𝑦 ∈ HF ))
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	finds 7932	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  suc csuc 6382  ωcom 7901   HF chf 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005  df-r1 9795  df-rank 9796  df-hf 9932

This theorem is used by:  omsshf  46217  fingrphf  46231