Theorem hvm1neg 31125

Description: Convert minus one times a scalar product to the negative of the scalar. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvm1neg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (-𝐴 ·ℎ 𝐵))

Proof of Theorem hvm1neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12139	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		ax-hvmulass 31100	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
4		mulm1 11586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
5	4	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
6	5	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐴) ·ℎ 𝐵) = (-𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	3, 6	eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (-𝐴 ·ℎ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  1c1 11034   · cmul 11038  -cneg 11373   ℋchba 31012   ·_ℎ csm 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-hvmulass 31100

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375

This theorem is referenced by:  hvaddsubval  31126  spanunsni  31672