Theorem mulm1 11590

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulm1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11096	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulneg1 11585	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
3	1, 2	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
4		mullid 11143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5	4	negeqd 11386	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(1 · 𝐴) = -𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  addneg1mul  11591  mulm1i  11594  mulm1d  11601  div2neg  11876  sqrtneglem  15201  sqreulem  15295  sinhval  16091  coshval  16092  demoivreALT  16138  sinmpi  26464  cosmpi  26465  sinppi  26466  cosppi  26467  cxpsqrt  26680  relogbdiv  26757  angneg  26781  lgsdir2lem4  27307  cnnvm  30769  cncph  30906  hvm1neg  31119  hvsubdistr2  31137  lnfnsubi  32133  dvasin  37949  lcmineqlem1  42393