Theorem mulm1 11643

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulm1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11146	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulneg1 11638	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
3	1, 2	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
4		mullid 11195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5	4	negeqd 11439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(1 · 𝐴) = -𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   · cmul 11093  -cneg 11430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  addneg1mul  11644  mulm1i  11647  mulm1d  11654  div2neg  11929  sqrtneglem  15307  sqreulem  15401  sinhval  16200  coshval  16201  demoivreALT  16247  sinmpi  26610  cosmpi  26611  sinppi  26612  cosppi  26613  cxpsqrt  26826  relogbdiv  26902  angneg  26926  lgsdir2lem4  27450  cnnvm  30943  cncph  31080  hvm1neg  31293  hvsubdistr2  31311  lnfnsubi  32307  dvasin  38215  lcmineqlem1  42658