Theorem mulm1 11618

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulm1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11121	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulneg1 11613	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
3	1, 2	mpan 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
4		mullid 11170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5	4	negeqd 11414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(1 · 𝐴) = -𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2791	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  1c1 11064   · cmul 11068  -cneg 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sub 11406  df-neg 11407

This theorem is referenced by:  addneg1mul  11619  mulm1i  11622  mulm1d  11629  div2neg  11904  sqrtneglem  15269  sqreulem  15363  sinhval  16162  coshval  16163  demoivreALT  16209  sinmpi  26522  cosmpi  26523  sinppi  26524  cosppi  26525  cxpsqrt  26738  relogbdiv  26814  angneg  26838  lgsdir2lem4  27362  cnnvm  30824  cncph  30961  hvm1neg  31174  hvsubdistr2  31192  lnfnsubi  32188  dvasin  38151  lcmineqlem1  42594