Theorem iccshftri 13518

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftri.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
iccshftri.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
iccshftri.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
iccshftri.4	⊢ (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
iccshftri.5	⊢ (𝐵 + 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftri	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccshftri.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		iccshftri.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		iccssre 13460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3975	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		iccshftri.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7		iccshftri.4	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
8		iccshftri.5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
9	7, 8	iccshftr 13517	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
10	1, 2, 9	mpanl12 700	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
11	6, 10	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
12	11	biimpd 228	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
13	5, 12	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  (class class class)co 7424  ℝcr 11157   + caddc 11161  [,]cicc 13381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-icc 13385

This theorem is referenced by:  pcoass  25042