MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccshftl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshftl 13507
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftl.1 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftl.2 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftl (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 resubcl 11564 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝑅) ∈ ℝ)
31, 22thd 264 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
43adantl 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
5 lesub1 11748 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
653expb 1117 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
76adantlr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
8 iccshftl.1 . . . . 5 (𝐴𝑅) = 𝐶
98breq1i 5159 . . . 4 ((𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅))
107, 9bitrdi 286 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋𝑅)))
11 lesub1 11748 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
12113expb 1117 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1312an12s 647 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1413adantll 712 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
15 iccshftl.2 . . . . 5 (𝐵𝑅) = 𝐷
1615breq2i 5160 . . . 4 ((𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅) ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16bitrdi 286 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1432 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 13431 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2019adantr 479 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
21 resubcl 11564 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
228, 21eqeltrrid 2834 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 resubcl 11564 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵𝑅) ∈ ℝ)
2415, 23eqeltrrid 2834 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elicc2 13431 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 594 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 677 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 714 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 310 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11147  cle 11289  cmin 11484  [,]cicc 13369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-icc 13373
This theorem is referenced by:  iccshftli  13508  iccf1o  13515
  Copyright terms: Public domain W3C validator