MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccshftl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshftl 13220
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftl.1 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftl.2 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftl (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 resubcl 11285 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝑅) ∈ ℝ)
31, 22thd 264 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
43adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
5 lesub1 11469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
653expb 1119 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
76adantlr 712 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
8 iccshftl.1 . . . . 5 (𝐴𝑅) = 𝐶
98breq1i 5081 . . . 4 ((𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅))
107, 9bitrdi 287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋𝑅)))
11 lesub1 11469 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
12113expb 1119 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1312an12s 646 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1413adantll 711 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
15 iccshftl.2 . . . . 5 (𝐵𝑅) = 𝐷
1615breq2i 5082 . . . 4 ((𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅) ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16bitrdi 287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1435 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 13144 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2019adantr 481 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
21 resubcl 11285 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
228, 21eqeltrrid 2844 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 resubcl 11285 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵𝑅) ∈ ℝ)
2415, 23eqeltrrid 2844 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elicc2 13144 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 596 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 676 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 713 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 311 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cr 10870  cle 11010  cmin 11205  [,]cicc 13082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-icc 13086
This theorem is referenced by:  iccshftli  13221  iccf1o  13228
  Copyright terms: Public domain W3C validator