Theorem iccshftl 12866

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftl.1	⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
iccshftl.2	⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftl	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		resubcl 10939	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 268	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ))
5		lesub1 11123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
6	5	3expb 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
7	6	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
8		iccshftl.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
9	8	breq1i 5037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅))
10	7, 9	syl6bb 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅)))
11		lesub1 11123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
12	11	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
13	12	an12s 648	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
14	13	adantll 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
15		iccshftl.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷
16	15	breq2i 5038	. . . 4 ⊢ ((𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅) ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)
17	14, 16	syl6bb 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷))
18	4, 10, 17	3anbi123d 1433	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
19		elicc2 12790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
20	19	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21		resubcl 10939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ)
22	8, 21	eqeltrrid 2895	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		resubcl 10939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑅) ∈ ℝ)
24	15, 23	eqeltrrid 2895	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elicc2 12790	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
26	22, 24, 25	syl2an 598	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
27	26	anandirs 678	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
28	27	adantrl 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	18, 20, 28	3bitr4d 314	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   ≤ cle 10665   − cmin 10859  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  iccshftli  12867  iccf1o  12874