MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccshftl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshftl 13471
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftl.1 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftl.2 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftl (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 resubcl 11528 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝑅) ∈ ℝ)
31, 22thd 265 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
43adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
5 lesub1 11712 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
653expb 1117 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
76adantlr 712 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
8 iccshftl.1 . . . . 5 (𝐴𝑅) = 𝐶
98breq1i 5148 . . . 4 ((𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅))
107, 9bitrdi 287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋𝑅)))
11 lesub1 11712 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
12113expb 1117 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1312an12s 646 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1413adantll 711 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
15 iccshftl.2 . . . . 5 (𝐵𝑅) = 𝐷
1615breq2i 5149 . . . 4 ((𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅) ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16bitrdi 287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1432 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 13395 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2019adantr 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
21 resubcl 11528 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
228, 21eqeltrrid 2832 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 resubcl 11528 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵𝑅) ∈ ℝ)
2415, 23eqeltrrid 2832 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elicc2 13395 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 595 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 676 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 713 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 311 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cr 11111  cle 11253  cmin 11448  [,]cicc 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-icc 13337
This theorem is referenced by:  iccshftli  13472  iccf1o  13479
  Copyright terms: Public domain W3C validator