Theorem iccshftr 13454

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftr.1	⊢ (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
iccshftr.2	⊢ (𝐵 + 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftr	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		readdcl 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 265	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
5		leadd1 11653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
8		iccshftr.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
9	8	breq1i 5117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅))
10	7, 9	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅)))
11		leadd1 11653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
12	11	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
13	12	an12s 649	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
14	13	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
15		iccshftr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
16	15	breq2i 5118	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅) ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)
17	14, 16	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷))
18	4, 10, 17	3anbi123d 1438	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
19		elicc2 13379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21		readdcl 11158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑅) ∈ ℝ)
22	8, 21	eqeltrrid 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		readdcl 11158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑅) ∈ ℝ)
24	15, 23	eqeltrrid 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elicc2 13379	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
26	22, 24, 25	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
27	26	anandirs 679	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
28	27	adantrl 716	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	18, 20, 28	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   ≤ cle 11216  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  iccshftri  13455  lincmb01cmp  13463