Theorem iccshftr 13465

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftr.1	⊢ (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
iccshftr.2	⊢ (𝐵 + 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftr	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		readdcl 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 264	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
5		leadd1 11684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
7	6	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
8		iccshftr.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
9	8	breq1i 5155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅))
10	7, 9	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅)))
11		leadd1 11684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
12	11	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
13	12	an12s 647	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
14	13	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
15		iccshftr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
16	15	breq2i 5156	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅) ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)
17	14, 16	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷))
18	4, 10, 17	3anbi123d 1436	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
19		elicc2 13391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
20	19	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21		readdcl 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑅) ∈ ℝ)
22	8, 21	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		readdcl 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑅) ∈ ℝ)
24	15, 23	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elicc2 13391	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
26	22, 24, 25	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
27	26	anandirs 677	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
28	27	adantrl 714	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	18, 20, 28	3bitr4d 310	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   ≤ cle 11251  [,]cicc 13329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-icc 13333

This theorem is referenced by:  iccshftri  13466  lincmb01cmp  13474