MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elply2 25573
Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside 0...𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elply2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ž,𝑛,𝑧,𝑆   𝐹,π‘Ž,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem elply2
Dummy variables 𝑓 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 25572 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
2 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
3 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 cnex 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ ∈ V
5 ssexg 5285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
63, 4, 5sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ 𝑆 ∈ V)
7 snex 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15 {0} ∈ V
8 unexg 7688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ V ∧ {0} ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
96, 7, 8sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
10 nn0ex 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 β„•0 ∈ V
11 elmapg 8785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝑓:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
129, 10, 11sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝑓:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
132, 12mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ 𝑓:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1413ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
15 ssun2 4138 . . . . . . . . . . . 12 {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0})
16 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
1716snss 4751 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (𝑆 βˆͺ {0}))
1815, 17mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0})
19 ifcl 4536 . . . . . . . . . . 11 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ 0 ∈ (𝑆 βˆͺ {0})) β†’ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
2014, 18, 19sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
2120fmpttd 7068 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
22 elmapg 8785 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
239, 10, 22sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
2421, 23mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
25 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑛) ↔ π‘˜ ∈ (0...𝑛)))
26 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘˜))
2725, 26ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0) = if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0))
28 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))
29 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ V
3029, 16ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0) ∈ V
3127, 28, 30fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0))
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0))
33 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0) = 0)
3433eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0) ↔ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = 0))
3532, 34syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = 0))
3635necon1ad 2961 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑛)))
37 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
3836, 37syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
3938anassrs 469 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
4039ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛))
41 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
42 0cnd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ 0 ∈ β„‚)
4342snssd 4774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ {0} βŠ† β„‚)
443, 43unssd 4151 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
4521, 44fssd 6691 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
46 plyco0 25569 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)))
4741, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)))
4840, 47mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0})
49 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
50 imaeq1 6013 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ (π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))))
5150eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ↔ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0}))
52 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜))
53 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5453, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0))
55 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ if(π‘˜ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘˜), 0) = (π‘“β€˜π‘˜))
5654, 55eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0))β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
5752, 56sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
5857oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
5958sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
6059mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
6160eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
6251, 61anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β†’ (((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) ↔ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
6362rspcev 3584 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ∧ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ ∈ (0...𝑛), (π‘“β€˜π‘₯), 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
6424, 48, 49, 63syl12anc 836 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
65 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
6665anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ (((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) ↔ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
6766rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
6864, 67syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)) β†’ (𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
6968rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
7069reximdva 3166 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
7170imdistani 570 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘“β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
721, 71sylbi 216 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
73 simpr 486 . . . . . 6 (((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7473reximi 3088 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7574reximi 3088 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7675anim2i 618 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))) β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
77 elply 25572 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
7876, 77sylibr 233 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7972, 78impbii 208 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577  Polycply 25561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578  df-ply 25565
This theorem is referenced by:  plyadd  25594  plymul  25595  coeeu  25602  dgrlem  25606  coeid  25615
  Copyright terms: Public domain W3C validator