MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeu 25963
Description: Uniqueness of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coeeu (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜   ๐‘›,๐‘Ž,๐น   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘›   ๐‘˜,๐‘Ž,๐‘ง,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ง,๐‘˜)   ๐น(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem coeeu
Dummy variables ๐‘ ๐‘— ๐‘š ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 25938 . . . . 5 (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜โ„‚)
21sseli 3978 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
3 elply2 25934 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†” (โ„‚ โŠ† โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
43simprbi 497 . . . . 5 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5 rexcom 3287 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
64, 5sylib 217 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
72, 6syl 17 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
8 0cn 11210 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
9 snssi 4811 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 {0} โŠ† โ„‚
11 ssequn2 4183 . . . . . 6 ({0} โŠ† โ„‚ โ†” (โ„‚ โˆช {0}) = โ„‚)
1210, 11mpbi 229 . . . . 5 (โ„‚ โˆช {0}) = โ„‚
1312oveq1i 7421 . . . 4 ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) = (โ„‚ โ†‘m โ„•0)
1413rexeqi 3324 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
157, 14sylib 217 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
16 reeanv 3226 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
17 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
18 simp1rl 1238 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))
19 simp1rr 1239 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))
20 simp2l 1199 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
21 simp2r 1200 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
22 simp3ll 1244 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0})
23 simp3rl 1246 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0})
24 simp3lr 1245 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
25 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘˜))
2625oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
2726sumeq2sdv 15654 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘Žโ€˜๐‘—))
29 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘คโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘—))
3028, 29oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3130cbvsumv 15646 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3227, 31eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3332cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3424, 33eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
35 simp3rr 1247 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
3625oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
3736sumeq2sdv 15654 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘—))
3938, 29oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4039cbvsumv 15646 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
4137, 40eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4241cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4335, 42eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
4417, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 34, 43coeeulem 25962 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)
45443expia 1121 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
4645rexlimdvva 3211 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
4716, 46biimtrrid 242 . . 3 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
4847ralrimivva 3200 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
49 imaeq1 6054 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))))
5049eqeq1d 2734 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โ†” (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0}))
51 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘˜))
5251oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
5352sumeq2sdv 15654 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
5453mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
5554eqeq2d 2743 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5650, 55anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
5756rexbidv 3178 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
58 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1)))
5958imaeq2d 6059 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))))
6059eqeq1d 2734 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โ†” (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0}))
61 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (0...๐‘›) = (0...๐‘š))
6261sumeq1d 15651 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
6362mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
6463eqeq2d 2743 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
6560, 64anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
6665cbvrexvw 3235 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
6757, 66bitrdi 286 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
6867reu4 3727 . 2 (โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
6915, 48, 68sylanbrc 583 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3374   โˆช cun 3946   โŠ† wss 3948  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231   โ€œ cima 5679  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  ฮฃcsu 15636  Polycply 25922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926
This theorem is referenced by:  coelem  25964  coeeq  25965
  Copyright terms: Public domain W3C validator