MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeu 25609
Description: Uniqueness of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coeeu (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜   ๐‘›,๐‘Ž,๐น   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘›   ๐‘˜,๐‘Ž,๐‘ง,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ง,๐‘˜)   ๐น(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem coeeu
Dummy variables ๐‘ ๐‘— ๐‘š ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 25584 . . . . 5 (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜โ„‚)
21sseli 3944 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
3 elply2 25580 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†” (โ„‚ โŠ† โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
43simprbi 498 . . . . 5 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5 rexcom 3272 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
64, 5sylib 217 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
72, 6syl 17 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
8 0cn 11155 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
9 snssi 4772 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 {0} โŠ† โ„‚
11 ssequn2 4147 . . . . . 6 ({0} โŠ† โ„‚ โ†” (โ„‚ โˆช {0}) = โ„‚)
1210, 11mpbi 229 . . . . 5 (โ„‚ โˆช {0}) = โ„‚
1312oveq1i 7371 . . . 4 ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) = (โ„‚ โ†‘m โ„•0)
1413rexeqi 3311 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((โ„‚ โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
157, 14sylib 217 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
16 reeanv 3216 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
17 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
18 simp1rl 1239 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))
19 simp1rr 1240 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))
20 simp2l 1200 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
21 simp2r 1201 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
22 simp3ll 1245 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0})
23 simp3rl 1247 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0})
24 simp3lr 1246 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
25 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘˜))
2625oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
2726sumeq2sdv 15597 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
28 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘Žโ€˜๐‘—))
29 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘คโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘—))
3028, 29oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3130cbvsumv 15589 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3227, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3332cbvmptv 5222 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3424, 33eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
35 simp3rr 1248 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
3625oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
3736sumeq2sdv 15597 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
38 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘—))
3938, 29oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4039cbvsumv 15589 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
4137, 40eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4241cbvmptv 5222 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4335, 42eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
4417, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 34, 43coeeulem 25608 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)
45443expia 1122 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
4645rexlimdvva 3202 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
4716, 46biimtrrid 242 . . 3 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0))) โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
4847ralrimivva 3194 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
49 imaeq1 6012 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))))
5049eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โ†” (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0}))
51 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘˜))
5251oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
5352sumeq2sdv 15597 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
5453mpteq2dv 5211 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
5554eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5650, 55anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
5756rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
58 fvoveq1 7384 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1)))
5958imaeq2d 6017 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))))
6059eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โ†” (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0}))
61 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (0...๐‘›) = (0...๐‘š))
6261sumeq1d 15594 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
6362mpteq2dv 5211 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
6463eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
6560, 64anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
6665cbvrexvw 3225 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
6757, 66bitrdi 287 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
6867reu4 3693 . 2 (โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
6915, 48, 68sylanbrc 584 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350   โˆช cun 3912   โŠ† wss 3914  {csn 4590   โ†ฆ cmpt 5192   โ€œ cima 5640  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„•0cn0 12421  โ„คโ‰ฅcuz 12771  ...cfz 13433  โ†‘cexp 13976  ฮฃcsu 15579  Polycply 25568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-0p 25057  df-ply 25572
This theorem is referenced by:  coelem  25610  coeeq  25611
  Copyright terms: Public domain W3C validator