MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeq 25388
Description: If 𝐴 satisfies the properties of the coefficient function, it must be equal to the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeq.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeeq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
coeeq.3 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
coeeq.4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
coeeq.5 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeq (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq
Dummy variables 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeeq.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 coeval 25384 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹) = (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
4 coeeq.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 coeeq.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
6 coeeq.5 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
7 fvoveq1 7298 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1)))
87imaeq2d 5969 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
98eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ↔ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}))
10 oveq2 7283 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
1110sumeq1d 15413 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
1211mpteq2dv 5176 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
1312eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
149, 13anbi12d 631 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))))
1514rspcev 3561 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
164, 5, 6, 15syl12anc 834 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
17 coeeq.3 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
18 cnex 10952 . . . . . 6 ℂ ∈ V
19 nn0ex 12239 . . . . . 6 0 ∈ V
2018, 19elmap 8659 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2117, 20sylibr 233 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑m0))
22 coeeu 25386 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃!𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
231, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
24 imaeq1 5964 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = (𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))))
2524eqeq1d 2740 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ↔ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0}))
26 fveq1 6773 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑘) = (𝐴𝑘))
2726oveq1d 7290 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2827sumeq2sdv 15416 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
2928mpteq2dv 5176 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
3029eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
3125, 30anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))))
3231rexbidv 3226 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))))
3332riota2 7258 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℂ ↑m0) ∧ ∃!𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))) = 𝐴))
3421, 23, 33syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))) = 𝐴))
3516, 34mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))) = 𝐴)
363, 35eqtrd 2778 1 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  ∃!wreu 3066  {csn 4561  cmpt 5157  cima 5592  wf 6429  cfv 6433  crio 7231  (class class class)co 7275  m cmap 8615  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  0cn0 12233  cuz 12582  ...cfz 13239  cexp 13782  Σcsu 15397  Polycply 25345  coeffccoe 25347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351
This theorem is referenced by:  dgrlem  25390  coeidlem  25398  coeeq2  25403  dgreq  25405  coeaddlem  25410  coemullem  25411  coe1termlem  25419  coecj  25439  basellem2  26231  aacllem  46505
  Copyright terms: Public domain W3C validator