MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coelem 26173
Description: Lemma for properties of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coelem (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜   ๐‘›,๐น   ๐‘†,๐‘›   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ง,๐น
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem coelem
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeval 26170 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (coeffโ€˜๐น) = (โ„ฉ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
2 coeeu 26172 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
3 riotacl2 7393 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†’ (โ„ฉ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))})
42, 3syl 17 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (โ„ฉ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))})
51, 4eqeltrd 2829 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (coeffโ€˜๐น) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))})
6 imaeq1 6058 . . . . . 6 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = ((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))))
76eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โ†” ((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0}))
8 fveq1 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = ((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜))
98oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
109sumeq2sdv 15683 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
1110mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
1211eqeq2d 2739 . . . . 5 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
137, 12anbi12d 631 . . . 4 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
1413rexbidv 3175 . . 3 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
1514elrab 3682 . 2 ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))} โ†” ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
165, 15sylib 217 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3371  {crab 3429  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5231   โ€œ cima 5681  โ€˜cfv 6548  โ„ฉcrio 7375  (class class class)co 7420   โ†‘m cmap 8845  โ„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„•0cn0 12503  โ„คโ‰ฅcuz 12853  ...cfz 13517  โ†‘cexp 14059  ฮฃcsu 15665  Polycply 26131  coeffccoe 26133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-0p 25612  df-ply 26135  df-coe 26137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator