MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coelem 25671
Description: Lemma for properties of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coelem (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹) ∈ (ℂ ↑m0) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘   𝑛,𝐹   𝑆,𝑛   𝑘,𝑛,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coelem
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeval 25668 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹) = (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
2 coeeu 25670 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃!𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
3 riotacl2 7367 . . . 4 (∃!𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) → (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))) ∈ {𝑎 ∈ (ℂ ↑m0) ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))})
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑎 ∈ (ℂ ↑m0)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))) ∈ {𝑎 ∈ (ℂ ↑m0) ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))})
51, 4eqeltrd 2833 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℂ ↑m0) ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))})
6 imaeq1 6045 . . . . . 6 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))))
76eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ↔ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0}))
8 fveq1 6878 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → (𝑎𝑘) = ((coeff‘𝐹)‘𝑘))
98oveq1d 7409 . . . . . . . 8 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
109sumeq2sdv 15634 . . . . . . 7 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
1110mpteq2dv 5244 . . . . . 6 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
1211eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))))
137, 12anbi12d 631 . . . 4 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))))
1413rexbidv 3178 . . 3 (𝑎 = (coeff‘𝐹) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))))
1514elrab 3680 . 2 ((coeff‘𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℂ ↑m0) ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))} ↔ ((coeff‘𝐹) ∈ (ℂ ↑m0) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))))
165, 15sylib 217 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹) ∈ (ℂ ↑m0) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  ∃!wreu 3374  {crab 3432  {csn 4623  cmpt 5225  cima 5673  cfv 6533  crio 7349  (class class class)co 7394  m cmap 8805  cc 11092  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   · cmul 11099  0cn0 12456  cuz 12806  ...cfz 13468  cexp 14011  Σcsu 15616  Polycply 25629  coeffccoe 25631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-rp 12959  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-0p 25118  df-ply 25633  df-coe 25635
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator