MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coelem 25740
Description: Lemma for properties of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coelem (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜   ๐‘›,๐น   ๐‘†,๐‘›   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ง,๐น
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem coelem
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeval 25737 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (coeffโ€˜๐น) = (โ„ฉ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
2 coeeu 25739 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
3 riotacl2 7382 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†’ (โ„ฉ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))})
42, 3syl 17 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (โ„ฉ๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))})
51, 4eqeltrd 2834 . 2 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ (coeffโ€˜๐น) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))})
6 imaeq1 6055 . . . . . 6 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = ((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))))
76eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โ†” ((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0}))
8 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = ((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜))
98oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
109sumeq2sdv 15650 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
1110mpteq2dv 5251 . . . . . 6 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
1211eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โ†” ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
137, 12anbi12d 632 . . . 4 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
1413rexbidv 3179 . . 3 (๐‘Ž = (coeffโ€˜๐น) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
1514elrab 3684 . 2 ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))} โ†” ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
165, 15sylib 217 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ ((coeffโ€˜๐น) โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (((coeffโ€˜๐น) โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(((coeffโ€˜๐น)โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  โˆƒ!wreu 3375  {crab 3433  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232   โ€œ cima 5680  โ€˜cfv 6544  โ„ฉcrio 7364  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator