MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1om Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1om 10181
Description: The set of hereditarily finite sets is countable. See ackbij2 10180 for an explicit bijection that works without Infinity. See also r1omALT 10713. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1om (𝑅1β€˜Ο‰) β‰ˆ Ο‰

Proof of Theorem r1om
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 9580 . . . 4 Ο‰ ∈ V
2 limom 7819 . . . 4 Lim Ο‰
3 r1lim 9709 . . . 4 ((Ο‰ ∈ V ∧ Lim Ο‰) β†’ (𝑅1β€˜Ο‰) = βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (𝑅1β€˜π‘Ž))
41, 2, 3mp2an 691 . . 3 (𝑅1β€˜Ο‰) = βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (𝑅1β€˜π‘Ž)
5 r1fnon 9704 . . . 4 𝑅1 Fn On
6 fnfun 6603 . . . 4 (𝑅1 Fn On β†’ Fun 𝑅1)
7 funiunfv 7196 . . . 4 (Fun 𝑅1 β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (𝑅1β€˜π‘Ž) = βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰))
85, 6, 7mp2b 10 . . 3 βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (𝑅1β€˜π‘Ž) = βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰)
94, 8eqtri 2765 . 2 (𝑅1β€˜Ο‰) = βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰)
10 iuneq1 4971 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘Ž β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑓 ∈ π‘Ž ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))
11 sneq 4597 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑏 β†’ {𝑓} = {𝑏})
12 pweq 4575 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑏 β†’ 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑏)
1311, 12xpeq12d 5665 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑏 β†’ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = ({𝑏} Γ— 𝒫 𝑏))
1413cbviunv 5001 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑓 ∈ π‘Ž ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž ({𝑏} Γ— 𝒫 𝑏)
1510, 14eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑒 = π‘Ž β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž ({𝑏} Γ— 𝒫 𝑏))
1615fveq2d 6847 . . . . 5 (𝑒 = π‘Ž β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž ({𝑏} Γ— 𝒫 𝑏)))
1716cbvmptv 5219 . . . 4 (𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))) = (π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑏 ∈ π‘Ž ({𝑏} Γ— 𝒫 𝑏)))
18 dmeq 5860 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Ž β†’ dom 𝑐 = dom π‘Ž)
1918pweqd 4578 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Ž β†’ 𝒫 dom 𝑐 = 𝒫 dom π‘Ž)
20 imaeq1 6009 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑐 β€œ 𝑑) = (π‘Ž β€œ 𝑑))
2120fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑)) = ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑑)))
2219, 21mpteq12dv 5197 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑))) = (𝑑 ∈ 𝒫 dom π‘Ž ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑑))))
23 imaeq2 6010 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑏 β†’ (π‘Ž β€œ 𝑑) = (π‘Ž β€œ 𝑏))
2423fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑏 β†’ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑑)) = ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑏)))
2524cbvmptv 5219 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝒫 dom π‘Ž ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑑))) = (𝑏 ∈ 𝒫 dom π‘Ž ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑏)))
2622, 25eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑))) = (𝑏 ∈ 𝒫 dom π‘Ž ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑏))))
2726cbvmptv 5219 . . . 4 (𝑐 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑)))) = (π‘Ž ∈ V ↦ (𝑏 ∈ 𝒫 dom π‘Ž ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(π‘Ž β€œ 𝑏))))
28 eqid 2737 . . . 4 βˆͺ (rec((𝑐 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑)))), βˆ…) β€œ Ο‰) = βˆͺ (rec((𝑐 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑)))), βˆ…) β€œ Ο‰)
2917, 27, 28ackbij2 10180 . . 3 βˆͺ (rec((𝑐 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑)))), βˆ…) β€œ Ο‰):βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰)–1-1-ontoβ†’Ο‰
30 fvex 6856 . . . . 5 (𝑅1β€˜Ο‰) ∈ V
319, 30eqeltrri 2835 . . . 4 βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰) ∈ V
3231f1oen 8914 . . 3 (βˆͺ (rec((𝑐 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ 𝒫 dom 𝑐 ↦ ((𝑒 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)))β€˜(𝑐 β€œ 𝑑)))), βˆ…) β€œ Ο‰):βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰)–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰ˆ Ο‰)
3329, 32ax-mp 5 . 2 βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰ˆ Ο‰
349, 33eqbrtri 5127 1 (𝑅1β€˜Ο‰) β‰ˆ Ο‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866  βˆͺ ciun 4955   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β€œ cima 5637  Oncon0 6318  Lim wlim 6319  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803  reccrdg 8356   β‰ˆ cen 8881  Fincfn 8884  π‘…1cr1 9699  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-r1 9701  df-rank 9702  df-dju 9838  df-card 9876
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator