Theorem lemul1ad 12145

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul1ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul1a 12060	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  bernneq  14256  o1fsum  15855  cvgrat  15927  prmreclem3  16968  nlmvscnlem2  24803  nghmcn  24863  ipcnlem2  25364  dvlip  26113  dvlipcn  26114  dvfsumlem4  26149  dvfsum2  26154  aalioulem3  26456  radcnvlem1  26534  radcnvlem2  26535  abelthlem5  26556  abelthlem7  26559  logtayllem  26782  abscxpbnd  26876  efrlim  27092  lgamgulmlem5  27155  chpub  27342  2sqlem8  27548  rplogsumlem1  27606  rpvmasumlem  27609  dchrisumlem3  27613  dchrvmasumlem3  27621  mulog2sumlem2  27657  selberglem2  27668  selberg2lem  27672  pntrlog2bndlem3  27701  pntrlog2bndlem5  27703  pntlemj  27725  ostth2lem2  27756  axpaschlem  29199  smcnlem  30958  htthlem  31178  lnconi  32294  cnlnadjlem7  32334  nnmulge  32996  nexple  33090  logdivsqrle  34954  hgt750lemf  34957  bfplem2  38334  aks4d1p1p7  42703  posbezout  42729  aks6d1c7lem1  42809  fltnltalem  43256  jm2.24nn  43548  areaquad  43805  int-ineq2ndprincd  44781  fmul01lt1lem2  46159  dvbdfbdioolem1  46500  fourierdlem19  46698  fourierdlem39  46718  hsphoidmvle2  47157  hsphoidmvle  47158  hoidmvlelem2  47168  smfmullem1  47363