Theorem lemul1ad 12081

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul1ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul1a 11995	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  bernneq  14152  o1fsum  15736  cvgrat  15806  prmreclem3  16846  nlmvscnlem2  24629  nghmcn  24689  ipcnlem2  25200  dvlip  25954  dvlipcn  25955  dvfsumlem4  25992  dvfsum2  25997  aalioulem3  26298  radcnvlem1  26378  radcnvlem2  26379  abelthlem5  26401  abelthlem7  26404  logtayllem  26624  abscxpbnd  26719  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  lgamgulmlem5  26999  chpub  27187  2sqlem8  27393  rplogsumlem1  27451  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem3  27458  dchrvmasumlem3  27466  mulog2sumlem2  27502  selberglem2  27513  selberg2lem  27517  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem5  27548  pntlemj  27570  ostth2lem2  27601  axpaschlem  29013  smcnlem  30772  htthlem  30992  lnconi  32108  cnlnadjlem7  32148  nnmulge  32818  nexple  32925  logdivsqrle  34807  hgt750lemf  34810  bfplem2  38020  aks4d1p1p7  42324  posbezout  42350  aks6d1c7lem1  42430  fltnltalem  42901  jm2.24nn  43197  areaquad  43454  int-ineq2ndprincd  44430  fmul01lt1lem2  45827  dvbdfbdioolem1  46168  fourierdlem19  46366  fourierdlem39  46386  hsphoidmvle2  46825  hsphoidmvle  46826  hoidmvlelem2  46836  smfmullem1  47031