![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemul1ad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltp1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
divgt0d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lemul1ad.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lemul1ad.4 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
lemul1ad.5 | โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
lemul1ad | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltp1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | divgt0d.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | lemul1ad.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | lemul1ad.4 | . . 3 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
5 | 3, 4 | jca 510 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) |
6 | lemul1ad.5 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) | |
7 | lemul1a 12072 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) | |
8 | 1, 2, 5, 6, 7 | syl31anc 1371 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โ wcel 2104 class class class wbr 5147 (class class class)co 7411 โcr 11111 0cc0 11112 ยท cmul 11117 โค cle 11253 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 |
This theorem is referenced by: bernneq 14196 o1fsum 15763 cvgrat 15833 prmreclem3 16855 nlmvscnlem2 24422 nghmcn 24482 ipcnlem2 24992 dvlip 25745 dvlipcn 25746 dvfsumlem4 25781 dvfsum2 25786 aalioulem3 26083 radcnvlem1 26161 radcnvlem2 26162 abelthlem5 26183 abelthlem7 26186 logtayllem 26403 abscxpbnd 26497 efrlim 26710 lgamgulmlem5 26773 chpub 26959 2sqlem8 27165 rplogsumlem1 27223 rpvmasumlem 27226 dchrisumlem3 27230 dchrvmasumlem3 27238 mulog2sumlem2 27274 selberglem2 27285 selberg2lem 27289 pntrlog2bndlem3 27318 pntrlog2bndlem5 27320 pntlemj 27342 ostth2lem2 27373 axpaschlem 28465 smcnlem 30217 htthlem 30437 lnconi 31553 cnlnadjlem7 31593 nnmulge 32230 nexple 33305 logdivsqrle 33960 hgt750lemf 33963 bfplem2 36994 aks4d1p1p7 41245 fltnltalem 41706 jm2.24nn 42000 areaquad 42267 int-ineq2ndprincd 43247 fmul01lt1lem2 44599 dvbdfbdioolem1 44942 fourierdlem19 45140 fourierdlem39 45160 hsphoidmvle2 45599 hsphoidmvle 45600 hoidmvlelem2 45610 smfmullem1 45805 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |