MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1ad 11320
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lemul1ad (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1ad
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 divgt0d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 lemul1ad.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lemul1ad.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
53, 4jca 507 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6 lemul1ad.5 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
7 lemul1a 11234 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
81, 2, 5, 6, 7syl31anc 1441 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  cr 10273  0cc0 10274   · cmul 10279  cle 10414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611
This theorem is referenced by:  bernneq  13314  o1fsum  14958  cvgrat  15027  prmreclem3  16037  nlmvscnlem2  22908  nghmcn  22968  ipcnlem2  23461  dvlip  24204  dvlipcn  24205  dvfsumlem4  24240  dvfsum2  24245  aalioulem3  24537  radcnvlem1  24615  radcnvlem2  24616  abelthlem5  24637  abelthlem7  24640  logtayllem  24853  abscxpbnd  24945  efrlim  25159  lgamgulmlem5  25222  chpub  25408  2sqlem8  25614  rplogsumlem1  25642  rpvmasumlem  25645  dchrisumlem3  25649  dchrvmasumlem3  25657  mulog2sumlem2  25693  selberglem2  25704  selberg2lem  25708  pntrlog2bndlem3  25737  pntrlog2bndlem5  25739  pntlemj  25761  ostth2lem2  25792  axpaschlem  26306  smcnlem  28141  htthlem  28363  lnconi  29481  cnlnadjlem7  29521  nnmulge  30094  nexple  30677  logdivsqrle  31338  hgt750lemf  31341  bfplem2  34255  jm2.24nn  38499  areaquad  38774  int-ineq2ndprincd  39466  fmul01lt1lem2  40739  dvbdfbdioolem1  41085  fourierdlem19  41284  fourierdlem39  41304  hsphoidmvle2  41740  hsphoidmvle  41741  hoidmvlelem2  41751  smfmullem1  41939
  Copyright terms: Public domain W3C validator