Theorem lemul1ad 12175

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lemul1ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lemul1ad.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6		lemul1ad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lemul1a 12090	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  0cc0 11130   · cmul 11135   ≤ cle 11271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  bernneq  14215  o1fsum  15783  cvgrat  15853  prmreclem3  16878  nlmvscnlem2  24589  nghmcn  24649  ipcnlem2  25159  dvlip  25913  dvlipcn  25914  dvfsumlem4  25951  dvfsum2  25956  aalioulem3  26256  radcnvlem1  26336  radcnvlem2  26337  abelthlem5  26359  abelthlem7  26362  logtayllem  26580  abscxpbnd  26675  efrlim  26888  efrlimOLD  26889  lgamgulmlem5  26952  chpub  27140  2sqlem8  27346  rplogsumlem1  27404  rpvmasumlem  27407  dchrisumlem3  27411  dchrvmasumlem3  27419  mulog2sumlem2  27455  selberglem2  27466  selberg2lem  27470  pntrlog2bndlem3  27499  pntrlog2bndlem5  27501  pntlemj  27523  ostth2lem2  27554  axpaschlem  28738  smcnlem  30494  htthlem  30714  lnconi  31830  cnlnadjlem7  31870  nnmulge  32504  nexple  33564  logdivsqrle  34218  hgt750lemf  34221  bfplem2  37231  aks4d1p1p7  41482  posbezout  41507  fltnltalem  42008  jm2.24nn  42302  areaquad  42567  int-ineq2ndprincd  43546  fmul01lt1lem2  44896  dvbdfbdioolem1  45239  fourierdlem19  45437  fourierdlem39  45457  hsphoidmvle2  45896  hsphoidmvle  45897  hoidmvlelem2  45907  smfmullem1  46102