![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemul1ad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltp1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
divgt0d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lemul1ad.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lemul1ad.4 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
lemul1ad.5 | โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
lemul1ad | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltp1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | divgt0d.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | lemul1ad.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | lemul1ad.4 | . . 3 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
5 | 3, 4 | jca 513 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) |
6 | lemul1ad.5 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) | |
7 | lemul1a 12068 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) | |
8 | 1, 2, 5, 6, 7 | syl31anc 1374 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5149 (class class class)co 7409 โcr 11109 0cc0 11110 ยท cmul 11115 โค cle 11249 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 |
This theorem is referenced by: bernneq 14192 o1fsum 15759 cvgrat 15829 prmreclem3 16851 nlmvscnlem2 24202 nghmcn 24262 ipcnlem2 24761 dvlip 25510 dvlipcn 25511 dvfsumlem4 25546 dvfsum2 25551 aalioulem3 25847 radcnvlem1 25925 radcnvlem2 25926 abelthlem5 25947 abelthlem7 25950 logtayllem 26167 abscxpbnd 26261 efrlim 26474 lgamgulmlem5 26537 chpub 26723 2sqlem8 26929 rplogsumlem1 26987 rpvmasumlem 26990 dchrisumlem3 26994 dchrvmasumlem3 27002 mulog2sumlem2 27038 selberglem2 27049 selberg2lem 27053 pntrlog2bndlem3 27082 pntrlog2bndlem5 27084 pntlemj 27106 ostth2lem2 27137 axpaschlem 28198 smcnlem 29950 htthlem 30170 lnconi 31286 cnlnadjlem7 31326 nnmulge 31963 nexple 33007 logdivsqrle 33662 hgt750lemf 33665 bfplem2 36691 aks4d1p1p7 40939 fltnltalem 41404 jm2.24nn 41698 areaquad 41965 int-ineq2ndprincd 42945 fmul01lt1lem2 44301 dvbdfbdioolem1 44644 fourierdlem19 44842 fourierdlem39 44862 hsphoidmvle2 45301 hsphoidmvle 45302 hoidmvlelem2 45312 smfmullem1 45507 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |