![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemul1ad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltp1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
divgt0d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lemul1ad.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lemul1ad.4 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
lemul1ad.5 | โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
lemul1ad | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltp1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | divgt0d.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | lemul1ad.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | lemul1ad.4 | . . 3 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
5 | 3, 4 | jca 513 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) |
6 | lemul1ad.5 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) | |
7 | lemul1a 12010 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) | |
8 | 1, 2, 5, 6, 7 | syl31anc 1374 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11051 0cc0 11052 ยท cmul 11057 โค cle 11191 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 |
This theorem is referenced by: bernneq 14133 o1fsum 15699 cvgrat 15769 prmreclem3 16791 nlmvscnlem2 24052 nghmcn 24112 ipcnlem2 24611 dvlip 25360 dvlipcn 25361 dvfsumlem4 25396 dvfsum2 25401 aalioulem3 25697 radcnvlem1 25775 radcnvlem2 25776 abelthlem5 25797 abelthlem7 25800 logtayllem 26017 abscxpbnd 26109 efrlim 26322 lgamgulmlem5 26385 chpub 26571 2sqlem8 26777 rplogsumlem1 26835 rpvmasumlem 26838 dchrisumlem3 26842 dchrvmasumlem3 26850 mulog2sumlem2 26886 selberglem2 26897 selberg2lem 26901 pntrlog2bndlem3 26930 pntrlog2bndlem5 26932 pntlemj 26954 ostth2lem2 26985 axpaschlem 27892 smcnlem 29642 htthlem 29862 lnconi 30978 cnlnadjlem7 31018 nnmulge 31658 nexple 32611 logdivsqrle 33266 hgt750lemf 33269 bfplem2 36285 aks4d1p1p7 40534 fltnltalem 41003 jm2.24nn 41286 areaquad 41553 int-ineq2ndprincd 42473 fmul01lt1lem2 43833 dvbdfbdioolem1 44176 fourierdlem19 44374 fourierdlem39 44394 hsphoidmvle2 44833 hsphoidmvle 44834 hoidmvlelem2 44844 smfmullem1 45039 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |