MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1ad 11571
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lemul1ad.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul1ad.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lemul1ad (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1ad
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 divgt0d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 lemul1ad.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lemul1ad.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
53, 4jca 514 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6 lemul1ad.5 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
7 lemul1a 11486 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
81, 2, 5, 6, 7syl31anc 1367 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  bernneq  13582  o1fsum  15160  cvgrat  15231  prmreclem3  16246  nlmvscnlem2  23286  nghmcn  23346  ipcnlem2  23839  dvlip  24582  dvlipcn  24583  dvfsumlem4  24618  dvfsum2  24623  aalioulem3  24915  radcnvlem1  24993  radcnvlem2  24994  abelthlem5  25015  abelthlem7  25018  logtayllem  25234  abscxpbnd  25326  efrlim  25539  lgamgulmlem5  25602  chpub  25788  2sqlem8  25994  rplogsumlem1  26052  rpvmasumlem  26055  dchrisumlem3  26059  dchrvmasumlem3  26067  mulog2sumlem2  26103  selberglem2  26114  selberg2lem  26118  pntrlog2bndlem3  26147  pntrlog2bndlem5  26149  pntlemj  26171  ostth2lem2  26202  axpaschlem  26718  smcnlem  28466  htthlem  28686  lnconi  29802  cnlnadjlem7  29842  nnmulge  30466  nexple  31256  logdivsqrle  31909  hgt750lemf  31912  bfplem2  35088  fltnltalem  39259  jm2.24nn  39541  areaquad  39808  int-ineq2ndprincd  40531  fmul01lt1lem2  41850  dvbdfbdioolem1  42197  fourierdlem19  42396  fourierdlem39  42416  hsphoidmvle2  42852  hsphoidmvle  42853  hoidmvlelem2  42863  smfmullem1  43051
  Copyright terms: Public domain W3C validator