Theorem iinfi 9384

Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinfi	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
2		dfiin2g 4997	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	rnmpt 5949	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
6	5	inteqi 4918	. . 3 ⊢ ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	3, 6	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8	4	fmpt 7109	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
9	8	3anbi1i 1175	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10		intrnfi 9383	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
11	9, 10	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
12	7, 11	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  ∩ cint 4914  ∩ ciin 4959   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Fincfn 8949  ficfi 9377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-fin 8953  df-fi 9378

This theorem is used by:  firest  17507  iscmet3  25503  sigapildsyslem  34616