Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinfi 8904
 Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinfi ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1192 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2 dfiin2g 4919 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 eqid 2759 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmpt 5794 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
65inteqi 4840 . . 3 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
73, 6eqtr4di 2812 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 = ran (𝑥𝐴𝐵))
84fmpt 6863 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
983anbi1i 1155 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10 intrnfi 8903 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ ((𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
119, 10sylan2b 597 . 2 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
127, 11eqeltrd 2853 1 ((𝐶𝑉 ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  ∅c0 4226  ∩ cint 4836  ∩ ciin 4882   ↦ cmpt 5110  ran crn 5523  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  Fincfn 8525  ficfi 8897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-om 7578  df-1o 8110  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-fin 8529  df-fi 8898 This theorem is referenced by:  firest  16754  iscmet3  23983  sigapildsyslem  31638
 Copyright terms: Public domain W3C validator