Theorem iinfi 9320

Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinfi	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
2		dfiin2g 4960	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	rnmpt 5899	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
6	5	inteqi 4881	. . 3 ⊢ ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	3, 6	eqtr4di 2792	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8	4	fmpt 7051	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
9	8	3anbi1i 1163	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10		intrnfi 9319	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
11	9, 10	sylan2b 600	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
12	7, 11	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ∅c0 4261  ∩ cint 4877  ∩ ciin 4922   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  ficfi 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-fi 9314

This theorem is referenced by:  firest  17386  iscmet3  25278  sigapildsyslem  34345