Theorem iinfi 9321

Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinfi	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
2		dfiin2g 4974	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	rnmpt 5904	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
6	5	inteqi 4894	. . 3 ⊢ ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	3, 6	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8	4	fmpt 7054	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
9	8	3anbi1i 1158	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10		intrnfi 9320	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
11	9, 10	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
12	7, 11	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∅c0 4274  ∩ cint 4890  ∩ ciin 4935   ↦ cmpt 5167  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Fincfn 8884  ficfi 9314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7809  df-1o 8396  df-en 8885  df-dom 8886  df-fin 8888  df-fi 9315

This theorem is referenced by:  firest  17353  iscmet3  25238  sigapildsyslem  34311