Theorem iinfi 9373

Description: An indexed intersection of elements of 𝐶 is an element of the finite intersections of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinfi	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iinfi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1211	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
2		dfiin2g 4996	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	rnmpt 5945	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
6	5	inteqi 4917	. . 3 ⊢ ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	3, 6	eqtr4di 2822	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8	4	fmpt 7103	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
9	8	3anbi1i 1173	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10		intrnfi 9372	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
11	9, 10	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (fi‘𝐶))
12	7, 11	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (fi‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∅c0 4294  ∩ cint 4913  ∩ ciin 4958   ↦ cmpt 5193  ran crn 5660  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  Fincfn 8939  ficfi 9366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9367

This theorem is referenced by:  firest  17481  iscmet3  25417  sigapildsyslem  34492