Theorem lindssn 31475

Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindssn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindssn.2	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindssn	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindssn

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		snssi 4738	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
5		eldifsni 4720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	neneqd 2947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8		simpl3 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ≠ 0 )
9	8	neneqd 2947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 = 0 )
10		ioran 980	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ))
11	7, 9, 10	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12		lindssn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
17		lindssn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
19	4	eldifad 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		simpl2 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lvecvs0or 20285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
22	21	necon3abid 2979	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
23	11, 22	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
24		nelsn 4598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
26		difid 4301	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅)
28	27	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
29		lveclmod 20283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
31	17, 30	lsp0 20186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
32	1, 29, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
34	28, 33	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = { 0 })
35	25, 34	neleqtrrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
36	35	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
37		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
38		sneq 4568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
39	38	difeq2d 4053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
40	39	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
41	37, 40	eleq12d 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
42	41	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
43	42	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
44	43	ralsng 4606	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
45	44	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
46	36, 45	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
47	12, 13, 30, 14, 15, 16	islinds2 20930	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
48	47	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
49	1, 3, 46, 48	syl12anc 833	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LIndSclinds 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lindf 20923  df-linds 20924

This theorem is referenced by:  rgmoddim  31595  ccfldextdgrr  31644