Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindssn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindssn 31560
Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindssn.1 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindssn.2 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindssn ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindssn
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2 snssi 4743 . . 3 (𝑋𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
323ad2ant2 1133 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
5 eldifsni 4725 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
76neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8 simpl3 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋0 )
98neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 = 0 )
10 ioran 981 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ))
117, 9, 10sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12 lindssn.1 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑊)
13 eqid 2738 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
17 lindssn.2 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑊)
181adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
194eldifad 3900 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋𝐵)
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lvecvs0or 20359 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2221necon3abid 2980 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2311, 22mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 )
24 nelsn 4603 . . . . . 6 ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
2523, 24syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
26 difid 4306 . . . . . . . 8 ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
2726a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅)
2827fveq2d 6772 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
29 lveclmod 20357 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3117, 30lsp0 20260 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
321, 29, 313syl 18 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
3428, 33eqtrd 2778 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = { 0 })
3525, 34neleqtrrd 2861 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
3635ralrimiva 3103 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
37 oveq2 7277 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) = (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋))
38 sneq 4573 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
3938difeq2d 4058 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
4039fveq2d 6772 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
4137, 40eleq12d 2833 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4241notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4342ralbidv 3119 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4443ralsng 4611 . . . 4 (𝑋𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
45443ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4636, 45mpbird 256 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
4712, 13, 30, 14, 15, 16islinds2 21009 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
4847biimpar 478 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
491, 3, 46, 48syl12anc 834 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3885  wss 3888  c0 4258  {csn 4563  cfv 6428  (class class class)co 7269  Basecbs 16901  Scalarcsca 16954   ·𝑠 cvsca 16955  0gc0g 17139  LModclmod 20112  LSpanclspn 20222  LVecclvec 20353  LIndSclinds 21001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-0g 17141  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-sbg 18571  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-oppr 19851  df-dvdsr 19872  df-unit 19873  df-invr 19903  df-drng 19982  df-lmod 20114  df-lss 20183  df-lsp 20223  df-lvec 20354  df-lindf 21002  df-linds 21003
This theorem is referenced by:  rgmoddim  31680  ccfldextdgrr  31729
  Copyright terms: Public domain W3C validator