Theorem lindssn 33322

Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindssn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindssn.2	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindssn	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindssn

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		snssi 4768	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
5		eldifsni 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	neneqd 2930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ≠ 0 )
9	8	neneqd 2930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 = 0 )
10		ioran 985	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ))
11	7, 9, 10	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12		lindssn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
17		lindssn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
19	4	eldifad 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lvecvs0or 20994	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
22	21	necon3abid 2961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
23	11, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
24		nelsn 4626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
26		difid 4335	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅)
28	27	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
29		lveclmod 20989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
31	17, 30	lsp0 20891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
32	1, 29, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
34	28, 33	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = { 0 })
35	25, 34	neleqtrrd 2851	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
36	35	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
37		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
38		sneq 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
39	38	difeq2d 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
40	39	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
41	37, 40	eleq12d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
42	41	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
43	42	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
44	43	ralsng 4635	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
45	44	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
46	36, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
47	12, 13, 30, 14, 15, 16	islinds2 21698	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
48	47	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
49	1, 3, 46, 48	syl12anc 836	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  LModclmod 20742  LSpanclspn 20853  LVecclvec 20985  LIndSclinds 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986  df-lindf 21691  df-linds 21692

This theorem is referenced by:  rlmdim  33578  rgmoddimOLD  33579  ccfldextdgrr  33640