Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindssn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindssn 30948
 Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindssn.1 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindssn.2 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindssn ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindssn
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2 snssi 4714 . . 3 (𝑋𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
323ad2ant2 1131 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
4 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
5 eldifsni 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
76neneqd 3012 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋0 )
98neneqd 3012 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 = 0 )
10 ioran 981 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ))
117, 9, 10sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12 lindssn.1 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑊)
13 eqid 2821 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
17 lindssn.2 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑊)
181adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
194eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋𝐵)
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lvecvs0or 19856 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2221necon3abid 3043 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2311, 22mpbird 260 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 )
24 nelsn 4578 . . . . . 6 ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
2523, 24syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
26 difid 4303 . . . . . . . 8 ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
2726a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅)
2827fveq2d 6647 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
29 lveclmod 19854 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3117, 30lsp0 19757 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
321, 29, 313syl 18 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
3332adantr 484 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
3428, 33eqtrd 2856 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = { 0 })
3525, 34neleqtrrd 2934 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
3635ralrimiva 3170 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
37 oveq2 7138 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) = (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋))
38 sneq 4550 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
3938difeq2d 4075 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
4039fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
4137, 40eleq12d 2906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4241notbid 321 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4342ralbidv 3185 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4443ralsng 4586 . . . 4 (𝑋𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
45443ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
4636, 45mpbird 260 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
4712, 13, 30, 14, 15, 16islinds2 20933 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
4847biimpar 481 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
491, 3, 46, 48syl12anc 835 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  LModclmod 19610  LSpanclspn 19719  LVecclvec 19850  LIndSclinds 20925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lindf 20926  df-linds 20927 This theorem is referenced by:  rgmoddim  31019  ccfldextdgrr  31068
 Copyright terms: Public domain W3C validator