Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindssn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindssn 32768
Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindssn.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lindssn.2 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindssn ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem lindssn
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 snssi 4810 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
323ad2ant2 1132 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
4 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
5 eldifsni 4792 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
76neneqd 2943 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ 𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8 simpl3 1191 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑋 β‰  0 )
98neneqd 2943 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ 𝑋 = 0 )
10 ioran 980 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (Β¬ 𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑋 = 0 ))
117, 9, 10sylanbrc 581 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12 lindssn.1 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 eqid 2730 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
14 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
16 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
17 lindssn.2 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
181adantr 479 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
194eldifad 3959 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lvecvs0or 20866 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2221necon3abid 2975 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β‰  0 ↔ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2311, 22mpbird 256 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β‰  0 )
24 nelsn 4667 . . . . . 6 ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β‰  0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ { 0 })
2523, 24syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ { 0 })
26 difid 4369 . . . . . . . 8 ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…
2726a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…)
2827fveq2d 6894 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…))
29 lveclmod 20861 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
30 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3117, 30lsp0 20764 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
321, 29, 313syl 18 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
3332adantr 479 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
3428, 33eqtrd 2770 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = { 0 })
3525, 34neleqtrrd 2854 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
3635ralrimiva 3144 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
37 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
38 sneq 4637 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
3938difeq2d 4121 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ({𝑋} βˆ– {π‘₯}) = ({𝑋} βˆ– {𝑋}))
4039fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
4137, 40eleq12d 2825 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4241notbid 317 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4342ralbidv 3175 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4443ralsng 4676 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
45443ad2ant2 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4636, 45mpbird 256 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))
4712, 13, 30, 14, 15, 16islinds2 21587 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ ({𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ({𝑋} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))))
4847biimpar 476 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ ({𝑋} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))) β†’ {𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
491, 3, 46, 48syl12anc 833 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  LIndSclinds 21579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lindf 21580  df-linds 21581
This theorem is referenced by:  rlmdim  32982  rgmoddimOLD  32983  ccfldextdgrr  33035
  Copyright terms: Public domain W3C validator