Theorem lindssn 31573

Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindssn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindssn.2	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindssn	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindssn

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		snssi 4741	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
4		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
5		eldifsni 4723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	neneqd 2948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ≠ 0 )
9	8	neneqd 2948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 = 0 )
10		ioran 981	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ))
11	7, 9, 10	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12		lindssn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
17		lindssn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
19	4	eldifad 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		simpl2 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lvecvs0or 20370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
22	21	necon3abid 2980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
23	11, 22	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
24		nelsn 4601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
26		difid 4304	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅)
28	27	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
29		lveclmod 20368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
31	17, 30	lsp0 20271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
32	1, 29, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
33	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
34	28, 33	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = { 0 })
35	25, 34	neleqtrrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
36	35	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
37		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
38		sneq 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
39	38	difeq2d 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
40	39	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
41	37, 40	eleq12d 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
42	41	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
43	42	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
44	43	ralsng 4609	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
45	44	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
46	36, 45	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
47	12, 13, 30, 14, 15, 16	islinds2 21020	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
48	47	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
49	1, 3, 46, 48	syl12anc 834	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LIndSclinds 21012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lindf 21013  df-linds 21014

This theorem is referenced by:  rgmoddim  31693  ccfldextdgrr  31742