Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindssn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindssn 32483
Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindssn.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lindssn.2 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindssn ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem lindssn
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 snssi 4811 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
323ad2ant2 1135 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
4 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
5 eldifsni 4793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
76neneqd 2946 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ 𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑋 β‰  0 )
98neneqd 2946 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ 𝑋 = 0 )
10 ioran 983 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (Β¬ 𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑋 = 0 ))
117, 9, 10sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12 lindssn.1 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
17 lindssn.2 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
181adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
194eldifad 3960 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lvecvs0or 20714 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2221necon3abid 2978 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β‰  0 ↔ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 = 0 )))
2311, 22mpbird 257 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β‰  0 )
24 nelsn 4668 . . . . . 6 ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β‰  0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ { 0 })
2523, 24syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ { 0 })
26 difid 4370 . . . . . . . 8 ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…
2726a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ({𝑋} βˆ– {𝑋}) = βˆ…)
2827fveq2d 6893 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…))
29 lveclmod 20710 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
30 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3117, 30lsp0 20613 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
321, 29, 313syl 18 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
3332adantr 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
3428, 33eqtrd 2773 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})) = { 0 })
3525, 34neleqtrrd 2857 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
3635ralrimiva 3147 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
37 oveq2 7414 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
38 sneq 4638 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
3938difeq2d 4122 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ({𝑋} βˆ– {π‘₯}) = ({𝑋} βˆ– {𝑋}))
4039fveq2d 6893 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋})))
4137, 40eleq12d 2828 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4241notbid 318 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4342ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4443ralsng 4677 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
45443ad2ant2 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {𝑋}))))
4636, 45mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))
4712, 13, 30, 14, 15, 16islinds2 21360 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ ({𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ ({𝑋} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))))
4847biimpar 479 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ ({𝑋} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑋}βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜({𝑋} βˆ– {π‘₯})))) β†’ {𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
491, 3, 46, 48syl12anc 836 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ {𝑋} ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  0gc0g 17382  LModclmod 20464  LSpanclspn 20575  LVecclvec 20706  LIndSclinds 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lindf 21353  df-linds 21354
This theorem is referenced by:  rlmdim  32683  rgmoddimOLD  32684  ccfldextdgrr  32735
  Copyright terms: Public domain W3C validator