Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinindfiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinindfiss 48340
Description: The property of being a linearly independent finite subset. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islininds.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islininds.z 𝑍 = (0g𝑀)
islininds.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islininds.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
islininds.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
islinindfiss ((𝑀𝑊𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥𝑆 (𝑓𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   0 ,𝑓   𝑓,𝑍   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑓)   𝐸(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem islinindfiss
StepHypRef Expression
1 islininds.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 islininds.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑀)
3 islininds.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4 islininds.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
5 islininds.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
61, 2, 3, 4, 5islinindfis 48339 . . . 4 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑊) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥𝑆 (𝑓𝑥) = 0 ))))
76ancoms 458 . . 3 ((𝑀𝑊𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥𝑆 (𝑓𝑥) = 0 ))))
873adant3 1133 . 2 ((𝑀𝑊𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥𝑆 (𝑓𝑥) = 0 ))))
983anibar 1330 1 ((𝑀𝑊𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥𝑆 (𝑓𝑥) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3060  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5141  cfv 6559  (class class class)co 7429  m cmap 8862  Fincfn 8981  Basecbs 17243  Scalarcsca 17296  0gc0g 17480   linC clinc 48294   linIndS clininds 48330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-1o 8502  df-map 8864  df-en 8982  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-lininds 48332
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator