Theorem islinindfiss 48374

Description: The property of being a linearly independent finite subset. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islininds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islininds.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islininds.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islininds.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islininds.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islinindfiss	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   0 ,𝑓   𝑓,𝑍   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑓)   𝐸(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem islinindfiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islininds.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		islininds.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
3		islininds.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4		islininds.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5		islininds.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	islinindfis 48373	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = 0 ))))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = 0 ))))
8	7	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = 0 ))))
9	8	3anibar 1330	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957  Basecbs 17226  Scalarcsca 17272  0_gc0g 17451   linC clinc 48328   linIndS clininds 48364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-1o 8478  df-map 8840  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-lininds 48366

This theorem is referenced by: (None)