Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinindfis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinindfis 47628
Description: The property of being a linearly independent finite subset. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islininds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islininds.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islininds.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islininds.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islininds.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islinindfis ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   0 ,𝑓   𝑓,𝑍   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑓)   𝑅(π‘₯,𝑓)   𝐸(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   0 (π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem islinindfis
StepHypRef Expression
1 islininds.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 islininds.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3 islininds.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
4 islininds.e . . 3 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
5 islininds.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5islininds 47625 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7 pm4.79 1001 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8 elmapi 8864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
98adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
10 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
115fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 0 ∈ V)
139, 10, 12fdmfifsupp 9396 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1413adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1514imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
1615expd 414 . . . . . . . 8 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
17 ax-1 6 . . . . . . . 8 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
1816, 17jaoi 855 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
197, 18sylbir 234 . . . . . 6 (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2019com12 32 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
21 pm3.42 492 . . . . 5 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
2220, 21impbid1 224 . . . 4 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2322ralbidva 3166 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2423anbi2d 628 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
256, 24bitrd 278 1 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  π’« cpw 4598   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233  0gc0g 17418   linC clinc 47583   linIndS clininds 47619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-1o 8483  df-map 8843  df-en 8961  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-lininds 47621
This theorem is referenced by:  islinindfiss  47629
  Copyright terms: Public domain W3C validator