Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinindfis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinindfis 47410
Description: The property of being a linearly independent finite subset. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islininds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islininds.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islininds.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islininds.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islininds.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islinindfis ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   0 ,𝑓   𝑓,𝑍   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑓)   𝑅(π‘₯,𝑓)   𝐸(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   0 (π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem islinindfis
StepHypRef Expression
1 islininds.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 islininds.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3 islininds.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
4 islininds.e . . 3 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
5 islininds.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5islininds 47407 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7 pm4.79 1000 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
10 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
115fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 0 ∈ V)
139, 10, 12fdmfifsupp 9375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1514imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
1615expd 415 . . . . . . . 8 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
17 ax-1 6 . . . . . . . 8 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
1816, 17jaoi 854 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
197, 18sylbir 234 . . . . . 6 (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2019com12 32 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
21 pm3.42 493 . . . . 5 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
2220, 21impbid1 224 . . . 4 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2322ralbidva 3169 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2423anbi2d 628 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
256, 24bitrd 279 1 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  π’« cpw 4597   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  0gc0g 17394   linC clinc 47365   linIndS clininds 47401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-1o 8467  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-lininds 47403
This theorem is referenced by:  islinindfiss  47411
  Copyright terms: Public domain W3C validator