Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinindfis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinindfis 47120
Description: The property of being a linearly independent finite subset. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islininds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islininds.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islininds.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islininds.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islininds.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islinindfis ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   0 ,𝑓   𝑓,𝑍   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑓)   𝑅(π‘₯,𝑓)   𝐸(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   0 (π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem islinindfis
StepHypRef Expression
1 islininds.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 islininds.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3 islininds.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
4 islininds.e . . 3 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
5 islininds.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5islininds 47117 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7 pm4.79 1002 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
10 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
115fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 0 ∈ V)
139, 10, 12fdmfifsupp 9372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1514imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
1615expd 416 . . . . . . . 8 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
17 ax-1 6 . . . . . . . 8 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
1816, 17jaoi 855 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
197, 18sylbir 234 . . . . . 6 (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2019com12 32 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
21 pm3.42 494 . . . . 5 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
2220, 21impbid1 224 . . . 4 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2322ralbidva 3175 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2423anbi2d 629 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
256, 24bitrd 278 1 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384   linC clinc 47075   linIndS clininds 47111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-1o 8465  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-lininds 47113
This theorem is referenced by:  islinindfiss  47121
  Copyright terms: Public domain W3C validator