Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinindfis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinindfis 46620
Description: The property of being a linearly independent finite subset. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islininds.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islininds.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islininds.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islininds.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islininds.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islinindfis ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   0 ,𝑓   𝑓,𝑍   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑓)   𝑅(π‘₯,𝑓)   𝐸(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   0 (π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem islinindfis
StepHypRef Expression
1 islininds.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 islininds.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3 islininds.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
4 islininds.e . . 3 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
5 islininds.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5islininds 46617 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7 pm4.79 1003 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8 elmapi 8793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπΈ)
10 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
115fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 0 ∈ V)
139, 10, 12fdmfifsupp 9323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
1514imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
1615expd 417 . . . . . . . 8 ((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
17 ax-1 6 . . . . . . . 8 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
1816, 17jaoi 856 . . . . . . 7 (((𝑓 finSupp 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ∨ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
197, 18sylbir 234 . . . . . 6 (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2019com12 32 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
21 pm3.42 495 . . . . 5 (((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
2220, 21impbid1 224 . . . 4 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2322ralbidva 3169 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
2423anbi2d 630 . 2 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
256, 24bitrd 279 1 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329   linC clinc 46575   linIndS clininds 46611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-1o 8416  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-lininds 46613
This theorem is referenced by:  islinindfiss  46621
  Copyright terms: Public domain W3C validator