Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme12.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme12.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
8 | | cdleme12.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme16c 38789 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
10 | | simp23r 1296 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
11 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
12 | | simp11l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
13 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
14 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
15 | | simp11r 1286 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
16 | | simp12l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
17 | | simp12r 1288 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
18 | | simp13l 1289 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
19 | | simp23l 1295 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
20 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | lhpat2 38554 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
21 | 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | syl222anc 1387 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
22 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(LPlanesβπΎ) =
(LPlanesβπΎ) |
23 | 1, 2, 4, 22 | islpln2a 38057 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β (LPlanesβπΎ) β (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) |
24 | 12, 13, 14, 21, 23 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β¨ π) β (LPlanesβπΎ) β (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) |
25 | 10, 11, 24 | mpbir2and 712 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ π) β (LPlanesβπΎ)) |
26 | 9, 25 | eqeltrd 2834 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) β (LPlanesβπΎ)) |
27 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
28 | 2, 4, 27 | islln2a 38026 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β ((π β¨ π) β (LLinesβπΎ) β π β π)) |
29 | 12, 13, 14, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β (LLinesβπΎ) β π β π)) |
30 | 10, 29 | mpbird 257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
31 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme16b 38788 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β πΊ) |
32 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
33 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
34 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
35 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
36 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
37 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | cdleme3fa 38745 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
38 | 32, 33, 34, 35, 19, 36, 37 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
39 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
40 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
41 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 | cdleme3fa 38745 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
42 | 32, 33, 34, 39, 19, 40, 41 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
43 | 2, 4, 27 | islln2a 38026 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ πΉ β π΄ β§ πΊ β π΄) β ((πΉ β¨ πΊ) β (LLinesβπΎ) β πΉ β πΊ)) |
44 | 12, 38, 42, 43 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β (LLinesβπΎ) β πΉ β πΊ)) |
45 | 31, 44 | mpbird 257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) β (LLinesβπΎ)) |
46 | 2, 3, 4, 27, 22 | 2llnmj 38069 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β¨ π) β (LLinesβπΎ) β§ (πΉ β¨ πΊ) β (LLinesβπΎ)) β (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β π΄ β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) β (LPlanesβπΎ))) |
47 | 12, 30, 45, 46 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β π΄ β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) β (LPlanesβπΎ))) |
48 | 26, 47 | mpbird 257 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β π΄) |