Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme16d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme16d 39665
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph on p. 114, 3rd part of 3rd sentence. 𝐹 and 𝐺 represent f(s) and f(t) respectively. We show, in their notation, (s ∨ t) ∧ (f(s) ∨ f(t)) is an atom. (Contributed by NM, 11-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme12.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme12.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme12.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme16d ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cdleme16d
StepHypRef Expression
1 cdleme12.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdleme12.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cdleme12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cdleme12.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 cdleme12.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdleme12.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
7 cdleme12.f . . . 4 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
8 cdleme12.g . . . 4 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme16c 39664 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
10 simp23r 1292 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
11 simp33 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
12 simp11l 1281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simp21l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
14 simp22l 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
15 simp11r 1282 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
16 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
17 simp12r 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
18 simp13l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
19 simp23l 1291 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
201, 2, 3, 4, 5, 6lhpat2 39429 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2112, 15, 16, 17, 18, 19, 20syl222anc 1383 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
22 eqid 2726 . . . . . 6 (LPlanesβ€˜πΎ) = (LPlanesβ€˜πΎ)
231, 2, 4, 22islpln2a 38932 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ↔ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))))
2412, 13, 14, 21, 23syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ↔ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))))
2510, 11, 24mpbir2and 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
269, 25eqeltrd 2827 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
27 eqid 2726 . . . . . 6 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
282, 4, 27islln2a 38901 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ 𝑆 β‰  𝑇))
2912, 13, 14, 28syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ 𝑆 β‰  𝑇))
3010, 29mpbird 257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme16b 39663 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐹 β‰  𝐺)
32 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
33 simp12 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
34 simp13 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
35 simp21 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
36 simp31 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdleme3fa 39620 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
3832, 33, 34, 35, 19, 36, 37syl132anc 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
39 simp22 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))
40 simp32 1207 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 8cdleme3fa 39620 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
4232, 33, 34, 39, 19, 40, 41syl132anc 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
432, 4, 27islln2a 38901 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ 𝐹 β‰  𝐺))
4412, 38, 42, 43syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ 𝐹 β‰  𝐺))
4531, 44mpbird 257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
462, 3, 4, 27, 222llnmj 38944 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)))
4712, 30, 45, 46syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)))
4826, 47mpbird 257 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝐹 ∨ 𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LLinesclln 38875  LPlanesclpl 38876  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme16e  39666  cdleme16f  39667
  Copyright terms: Public domain W3C validator