Theorem ismhp3 20891

Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpfval.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpfval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpfval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpfval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismhp3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ,𝑑)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑑)   𝑅(ℎ,𝑑)   𝐻(ℎ,𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑑)   𝑊(ℎ,𝑑)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem ismhp3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhpfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mhpfval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhpfval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mhpfval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		mhpval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 20889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10		ismhp2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	biantrurd 536	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
12		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	2, 12, 3, 5, 10	mplelf 20768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffnd 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
15	4	fvexi 6676	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17		elsuppfng 7849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
18	14, 10, 16, 17	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
19		oveq2 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
20	19	eqeq1d 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
21	20	elrab 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
23	18, 22	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
24		imdistan 571	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
25	23, 24	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
26	25	albidv 1921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
27		dfss2 3880	. . 3 ⊢ ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
28		df-ral 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
29	26, 27, 28	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
30	9, 11, 29	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ^◡ccnv 5526   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   supp csupp 7840   ↑_m cmap 8421  Fincfn 8532  ℕcn 11679  ℕ₀cn0 11939  Basecbs 16546   ↾_s cress 16547  0_gc0g 16776   Σ_g cgsu 16777  ℂ_fldccnfld 20171   mPoly cmpl 20673   mHomP cmhp 20877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-psr 20676  df-mpl 20678  df-mhp 20881

This theorem is referenced by:  mhpsclcl  20895  mhpvarcl  20896  mhpmulcl  20897