Theorem ismhp3 22371

Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismhp3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ, 𝑑)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ, 𝑑)   𝑅(ℎ, 𝑑)   𝐻(ℎ, 𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁(ℎ)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem ismhp3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhp 22369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
8		ismhp2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	2, 10, 3, 5, 8	mplelf 22213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
13	4	fvexi 6893	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
15		elsuppfng 8168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
17		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
18	17	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
19	18	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
21	16, 20	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
22		imdistan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
23	21, 22	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
24	23	albidv 1953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
25		df-ss 3916	. . 3 ⊢ ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
26		df-ral 3077	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
27	24, 25, 26	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
28	7, 9, 27	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑_m cmap 8827  Fincfn 8953  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  ℂ_fldccnfld 21586   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-tset 17362  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-mhp 22365

This theorem is used by:  mhpsclcl  22376  mhpvarcl  22377  mhpmulcl  22378  esplymhp  34079