Theorem ismhp3 22036

Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismhp3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ,𝑑)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑑)   𝑅(ℎ,𝑑)   𝐻(ℎ,𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁(ℎ)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem ismhp3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhp 22034	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
8		ismhp2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	2, 10, 3, 5, 8	mplelf 21914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
13	4	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
15		elsuppfng 8151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
17		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
18	17	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
19	18	elrab 3662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
21	16, 20	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
22		imdistan 567	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
23	21, 22	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
24	23	albidv 1920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
25		df-ss 3934	. . 3 ⊢ ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
26		df-ral 3046	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
27	24, 25, 26	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
28	7, 9, 27	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  ℂ_fldccnfld 21271   mPoly cmpl 21822   mHomP cmhp 22023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-psr 21825  df-mpl 21827  df-mhp 22030

This theorem is referenced by:  mhpsclcl  22041  mhpvarcl  22042  mhpmulcl  22043