Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhp3 20829
 Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpfval.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpfval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpfval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpfval.0 0 = (0g𝑅)
mhpfval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpfval.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpfval.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ismhp3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ ∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵(,𝑑)   𝐷()   𝑃(,𝑑)   𝑅(,𝑑)   𝐻(,𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁()   𝑉(,𝑑)   𝑊(,𝑑)   𝑋()   0 ()

Proof of Theorem ismhp3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpfval.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpfval.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mhpfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mhpfval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
5 mhpfval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpfval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
7 mhpfval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
8 mhpval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ismhp 20827 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10 ismhp2.1 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
1110biantrurd 536 . 2 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
12 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
132, 12, 3, 5, 10mplelf 20706 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1413ffnd 6493 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
15 ovex 7175 . . . . . . . . 9 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
165, 15rabex2 5204 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
184fvexi 6666 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
20 elsuppfn 7833 . . . . . . 7 ((𝑋 Fn 𝐷𝐷 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 )))
2114, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 )))
22 oveq2 7150 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑑 → ((ℂflds0) Σg 𝑔) = ((ℂflds0) Σg 𝑑))
2322eqeq1d 2800 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑑 → (((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))
2423elrab 3629 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
2621, 25imbi12d 348 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
27 imdistan 571 . . . . 5 ((𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
2826, 27bitr4di 292 . . . 4 (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
2928albidv 1921 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
30 dfss2 3902 . . 3 ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
31 df-ral 3111 . . 3 (∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
3229, 30, 313bitr4g 317 . 2 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
339, 11, 323bitr2d 310 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ ∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3882  ◡ccnv 5521   “ cima 5525   Fn wfn 6324  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142   supp csupp 7823   ↑m cmap 8404  Fincfn 8507  ℕcn 11640  ℕ0cn0 11900  Basecbs 16492   ↾s cress 16493  0gc0g 16722   Σg cgsu 16723  ℂfldccnfld 20109   mPoly cmpl 20611   mHomP cmhp 20815 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-uz 12249  df-fz 12903  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-tset 16593  df-psr 20614  df-mpl 20616  df-mhp 20819 This theorem is referenced by:  mhpsclcl  20833  mhpvarcl  20834  mhpmulcl  20835
 Copyright terms: Public domain W3C validator