Theorem ismhp3 22169

Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpfval.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpfval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpfval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpfval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismhp3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ,𝑑)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑑)   𝑅(ℎ,𝑑)   𝐻(ℎ,𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑑)   𝑊(ℎ,𝑑)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem ismhp3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mhpfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		mhpfval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhpfval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mhpfval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		mhpval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 22167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10		ismhp2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
12		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	2, 12, 3, 5, 10	mplelf 22041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
15	4	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17		elsuppfng 8210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
18	14, 10, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
19		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
20	19	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
21	20	elrab 3708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
23	18, 22	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
24		imdistan 567	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
25	23, 24	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
26	25	albidv 1919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
27		df-ss 3993	. . 3 ⊢ ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
28		df-ral 3068	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
29	26, 27, 28	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
30	9, 11, 29	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  ℂ_fldccnfld 21387   mPoly cmpl 21949   mHomP cmhp 22156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-mhp 22163

This theorem is referenced by:  mhpsclcl  22174  mhpvarcl  22175  mhpmulcl  22176