MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhp3 21083
Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpfval.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpfval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpfval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpfval.0 0 = (0g𝑅)
mhpfval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpfval.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpfval.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ismhp3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ ∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵(,𝑑)   𝐷()   𝑃(,𝑑)   𝑅(,𝑑)   𝐻(,𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁()   𝑉(,𝑑)   𝑊(,𝑑)   𝑋()   0 ()

Proof of Theorem ismhp3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpfval.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpfval.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mhpfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mhpfval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
5 mhpfval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpfval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
7 mhpfval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
8 mhpval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ismhp 21081 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10 ismhp2.1 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
1110biantrurd 536 . 2 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
12 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
132, 12, 3, 5, 10mplelf 20960 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1413ffnd 6546 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
154fvexi 6731 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
17 elsuppfng 7912 . . . . . . 7 ((𝑋 Fn 𝐷𝑋𝐵0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 )))
1814, 10, 16, 17syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 )))
19 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑑 → ((ℂflds0) Σg 𝑔) = ((ℂflds0) Σg 𝑑))
2019eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑑 → (((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))
2120elrab 3602 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
2318, 22imbi12d 348 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
24 imdistan 571 . . . . 5 ((𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑𝐷 ∧ (𝑋𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑𝐷 ∧ ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
2523, 24bitr4di 292 . . . 4 (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
2625albidv 1928 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
27 dfss2 3886 . . 3 ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
28 df-ral 3066 . . 3 (∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑𝐷 → ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
2926, 27, 283bitr4g 317 . 2 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
309, 11, 293bitr2d 310 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ ∀𝑑𝐷 ((𝑋𝑑) ≠ 0 → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1541   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3408  wss 3866  ccnv 5550  cima 5554   Fn wfn 6375  cfv 6380  (class class class)co 7213   supp csupp 7903  m cmap 8508  Fincfn 8626  cn 11830  0cn0 12090  Basecbs 16760  s cress 16784  0gc0g 16944   Σg cgsu 16945  fldccnfld 20363   mPoly cmpl 20865   mHomP cmhp 21069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-psr 20868  df-mpl 20870  df-mhp 21073
This theorem is referenced by:  mhpsclcl  21087  mhpvarcl  21088  mhpmulcl  21089
  Copyright terms: Public domain W3C validator