Theorem ismhp3 22130

Description: A polynomial is homogeneous iff the degree of every nonzero term is the same. (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismhp3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑁,𝑑   𝐷,𝑑   0 ,𝑑   𝑋,𝑑   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ,𝑑)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑑)   𝑅(ℎ,𝑑)   𝐻(ℎ,𝑑)   𝐼(𝑑)   𝑁(ℎ)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem ismhp3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhp 22128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
8		ismhp2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	biantrurd 537	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	2, 10, 3, 5, 8	mplelf 21972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffnd 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
13	4	fvexi 6841	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
15		elsuppfng 8109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 )))
17		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
18	17	eqeq1d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑑 → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
19	18	elrab 3629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
21	16, 20	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
22		imdistan 572	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑑) ≠ 0 ) → (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
23	21, 22	bitr4di 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ (𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
24	23	albidv 1927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁))))
25		df-ss 3900	. . 3 ⊢ ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ (𝑋 supp 0 ) → 𝑑 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
26		df-ral 3054	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁) ↔ ∀𝑑(𝑑 ∈ 𝐷 → ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
27	24, 25, 26	3bitr4g 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))
28	7, 9, 27	3bitr2d 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((𝑋‘𝑑) ≠ 0 → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  ℂ_fldccnfld 21347   mPoly cmpl 21881   mHomP cmhp 22121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-tset 17230  df-psr 21884  df-mpl 21886  df-mhp 22124

This theorem is referenced by:  mhpsclcl  22135  mhpvarcl  22136  mhpmulcl  22137  esplymhp  33752