Theorem mhpdeg 21335

Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpdeg.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpdeg	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ   𝐷,𝑔   ℎ,𝐼   𝑔,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑉(𝑔,ℎ)   𝑊(𝑔,ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpdeg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpdeg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		mhpdeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mhpdeg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mhpdeg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpdeg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		mhpdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ismhp 21331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
11	10	simplbda 500	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
12	1, 11	mpdan 684	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  ℂ_fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mHomP cmhp 21319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-n0 12234  df-mhp 21323

This theorem is referenced by:  mhpmulcl  21339  mhpaddcl  21341  mhpinvcl  21342  mhpvscacl  21344  mhpind  40283