MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpdeg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpdeg 21551
Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0 0 = (0g𝑅)
mhpdeg.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpdeg.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpdeg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpdeg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpdeg (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Distinct variable groups:   𝑔,   𝐷,𝑔   ,𝐼   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐷()   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑉(𝑔,)   𝑊(𝑔,)   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem mhpdeg
StepHypRef Expression
1 mhpdeg.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
2 mhpdeg.h . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 eqid 2737 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5 mhpdeg.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
6 mhpdeg.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mhpdeg.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
8 mhpdeg.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑊)
9 mhpdeg.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ismhp 21547 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
1110simplbda 501 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
121, 11mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3410  wss 3915  ccnv 5637  cima 5641  cfv 6501  (class class class)co 7362   supp csupp 8097  m cmap 8772  Fincfn 8890  cn 12160  0cn0 12420  Basecbs 17090  s cress 17119  0gc0g 17328   Σg cgsu 17329  fldccnfld 20812   mPoly cmpl 21324   mHomP cmhp 21535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-n0 12421  df-mhp 21539
This theorem is referenced by:  mhpmulcl  21555  mhpaddcl  21557  mhpinvcl  21558  mhpvscacl  21560  mhpind  40798
  Copyright terms: Public domain W3C validator