Theorem mhpdeg 20319

Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpdeg.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpdeg	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑗   𝐷,𝑔   ℎ,𝐼   𝑔,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑗)   𝐷(ℎ,𝑗)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑗)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑗)   𝐼(𝑔,𝑗)   𝑁(ℎ,𝑗)   𝑉(𝑔,ℎ,𝑗)   𝑊(𝑔,ℎ,𝑗)   𝑋(𝑔,ℎ,𝑗)   0 (𝑔,ℎ,𝑗)

Proof of Theorem mhpdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpdeg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpdeg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		mhpdeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mhpdeg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mhpdeg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpdeg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		mhpdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ismhp 20317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})))
11	10	simplbda 502	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
12	1, 11	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ⊆ wss 3924  ^◡ccnv 5540   “ cima 5544  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142   supp csupp 7816   ↑_m cmap 8392  Fincfn 8495  ℕcn 11624  ℕ₀cn0 11884  Σcsu 15027  Basecbs 16466  0_gc0g 16696   mPoly cmpl 20116   mHomP cmhp 20305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-1cn 10581  ax-addcl 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-nn 11625  df-n0 11885  df-mhp 20309

This theorem is referenced by:  mhpaddcl  20321  mhpinvcl  20322  mhpvscacl  20324