MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpdeg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpdeg 22167
Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0 0 = (0g𝑅)
mhpdeg.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpdeg (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Distinct variable groups:   𝑔,   𝐷,𝑔   ,𝐼   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐷()   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem mhpdeg
StepHypRef Expression
1 mhpdeg.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
2 mhpdeg.h . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 eqid 2735 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5 mhpdeg.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
6 mhpdeg.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
72, 1mhprcl 22165 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
82, 3, 4, 5, 6, 7ismhp 22162 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
98simplbda 499 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
101, 9mpdan 687 1 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  fldccnfld 21382   mPoly cmpl 21944   mHomP cmhp 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-n0 12525  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-mpl 21949  df-mhp 22158
This theorem is referenced by:  mhpmulcl  22171  mhpaddcl  22173  mhpinvcl  22174  mhpvscacl  22176  mhpind  42581  evlsmhpvvval  42582
  Copyright terms: Public domain W3C validator