Theorem mhpdeg 22069

Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpdeg.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpdeg	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ   𝐷,𝑔   ℎ,𝐼   𝑔,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑉(𝑔,ℎ)   𝑊(𝑔,ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpdeg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpdeg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		mhpdeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mhpdeg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mhpdeg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpdeg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		mhpdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ismhp 22065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
11	10	simplbda 499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
12	1, 11	mpdan 686	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429   ⊆ wss 3947  ^◡ccnv 5677   “ cima 5681  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  0_gc0g 17421   Σ_g cgsu 17422  ℂ_fldccnfld 21279   mPoly cmpl 21839   mHomP cmhp 22055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-1cn 11197  ax-addcl 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12244  df-n0 12504  df-mhp 22062

This theorem is referenced by:  mhpmulcl  22073  mhpaddcl  22075  mhpinvcl  22076  mhpvscacl  22078  mhpind  41827  evlsmhpvvval  41828