MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpdeg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpdeg 22069
Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0 0 = (0g𝑅)
mhpdeg.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpdeg.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpdeg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpdeg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpdeg (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Distinct variable groups:   𝑔,   𝐷,𝑔   ,𝐼   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐷()   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑉(𝑔,)   𝑊(𝑔,)   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem mhpdeg
StepHypRef Expression
1 mhpdeg.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
2 mhpdeg.h . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 eqid 2728 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4 eqid 2728 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5 mhpdeg.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
6 mhpdeg.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mhpdeg.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
8 mhpdeg.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑊)
9 mhpdeg.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ismhp 22065 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
1110simplbda 499 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
121, 11mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429  wss 3947  ccnv 5677  cima 5681  cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165  m cmap 8845  Fincfn 8964  cn 12243  0cn0 12503  Basecbs 17180  s cress 17209  0gc0g 17421   Σg cgsu 17422  fldccnfld 21279   mPoly cmpl 21839   mHomP cmhp 22055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-1cn 11197  ax-addcl 11199
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12244  df-n0 12504  df-mhp 22062
This theorem is referenced by:  mhpmulcl  22073  mhpaddcl  22075  mhpinvcl  22076  mhpvscacl  22078  mhpind  41827  evlsmhpvvval  41828
  Copyright terms: Public domain W3C validator